⑧ a) 2cos²x+3sin(-x)-3=0

Решение:

1. Упростим уравнение, используя свойство нечётности синуса: \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \). Уравнение примет вид: \[ 2\cos^2x - 3\sin x - 3 = 0 \]
2. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \). Подставим его в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2x) - 3\sin x - 3 = 0 \]
3. Раскроем скобки и приведём подобные члены: \[ 2 - 2\sin^2x - 3\sin x - 3 = 0 \] \[ -2\sin^2x - 3\sin x - 1 = 0 \]
4. Умножим обе части на -1 для удобства: \[ 2\sin^2x + 3\sin x + 1 = 0 \]
5. Введём замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \( t \): \[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).
7. Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \] \[ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
8. Вернёмся к замене \( t = \sin x \):
   • \( \sin x = -0.5 \)
   • \( \sin x = -1 \)
9. Решим каждое из полученных тригонометрических уравнений:
   • Для \( \sin x = -0.5 \) решения: \[ x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \] и \[ x = 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).
   • Для \( \sin x = -1 \) решение: \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \).