a) 2cos(x+π/6)-2√3sin(π-x)=0

Решение:

Приведём уравнение к более простому виду, используя тригонометрические тождества:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом по формуле косинуса суммы: \( \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2} \).
2. Преобразуем второе слагаемое, используя тождество \( \sin(\pi - x) = \sin x \).
3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \( 2 \left( \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2} \right) - 2\sqrt{3} \sin x = 0 \)
4. Упростим: \( \sqrt{3} \cos x - \sin x - 2\sqrt{3} \sin x = 0 \)
5. Приведём подобные слагаемые: \( \sqrt{3} \cos x - 3\sqrt{3} \sin x = 0 \)
6. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{3} \): \( \cos x - 3 \sin x = 0 \)
7. Перенесём \( 3 \sin x \) в правую часть: \( \cos x = 3 \sin x \)
8. Если \( \cos x = 0 \), то \( 3 \sin x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin x \) и \( \cos x \) не могут быть равны нулю одновременно. Поэтому можем разделить обе части на \( \cos x \): \( 1 = 3 \frac{\sin x}{\cos x} \)
9. Получаем \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \)
10. Общее решение уравнения: \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)