a) { (7x-3y)/5 = (5x-y)/3 - (x+y)/2 ; (x-1)/5 = (y+1)/3 }

Решение:

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Для ее решения преобразуем каждое уравнение:

Первое уравнение:

• \[ \frac{7x - 3y}{5} = \frac{5x - y}{3} - \frac{x + y}{2} \]
• Приведем к общему знаменателю 6:
• \[ \frac{6(7x - 3y)}{30} = \frac{10(5x - y)}{30} - \frac{15(x + y)}{30} \]
• Умножим обе части на 30:
• \[ 6(7x - 3y) = 10(5x - y) - 15(x + y) \]
• Раскроем скобки:
• \[ 42x - 18y = 50x - 10y - 15x - 15y \]
• Сгруппируем члены с x и y:
• \[ 42x - 18y = (50x - 15x) + (-10y - 15y) \]
• \[ 42x - 18y = 35x - 25y \]
• Перенесем члены с x в одну сторону, а y в другую:
• \[ 42x - 35x = -25y + 18y \]
• \[ 7x = -7y \]
• Разделим на 7:
• \[ x = -y \]

Второе уравнение:

• \[ \frac{x - 1}{5} = \frac{y + 1}{3} \]
• Приведем к общему знаменателю 15:
• \[ \frac{3(x - 1)}{15} = \frac{5(y + 1)}{15} \]
• Умножим обе части на 15:
• \[ 3(x - 1) = 5(y + 1) \]
• Раскроем скобки:
• \[ 3x - 3 = 5y + 5 \]

Теперь подставим значение x = -y во второе уравнение:

• \[ 3(-y) - 3 = 5y + 5 \]
• \[ -3y - 3 = 5y + 5 \]
• Перенесем члены с y в одну сторону, а константы в другую:
• \[ -3 - 5 = 5y + 3y \]
• \[ -8 = 8y \]
• Разделим на 8:
• \[ y = -1 \]

Теперь найдем x, используя x = -y:

• \[ x = -(-1) \]
• \[ x = 1 \]

Проверка:

Подставим x=1 и y=-1 в исходные уравнения:

Первое уравнение:

• \[ \frac{7(1) - 3(-1)}{5} = \frac{5(1) - (-1)}{3} - \frac{1 + (-1)}{2} \]
• \[ \frac{7 + 3}{5} = \frac{5 + 1}{3} - \frac{0}{2} \]
• \[ \frac{10}{5} = \frac{6}{3} - 0 \]
• \[ 2 = 2 \] (Верно)

Второе уравнение:

• \[ \frac{1 - 1}{5} = \frac{-1 + 1}{3} \]
• \[ \frac{0}{5} = \frac{0}{3} \]
• \[ 0 = 0 \] (Верно)

Ответ: x = 1, y = -1