a) a^\frac{1}{4} \cdot \sqrt{a} b) a^\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{a^6} : \sqrt[6]{a^5}

Ответ: a) a^{\frac{3}{4}}; b) \frac{1}{\sqrt[6]{a}}

1. a) Решение первого выражения:
   • Представим корень как степень: \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\).
   • Умножим степени с одинаковым основанием: \(a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}\)
   • Сложим показатели степени: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\).
   • Результат: \(a^{\frac{3}{4}}\)
2. b) Решение второго выражения:
   • Упростим корень в числителе: \(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\)
   • Представим выражение как деление степеней: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^2 = a^{\frac{1}{2} + 2} = a^{\frac{5}{2}}\)
   • Представим корень в знаменателе как степень: \(\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}\)
   • Разделим степени с одинаковым основанием: \(\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{5}{6}}\)
   • Вычтем показатели степени: \(\frac{5}{2} - \frac{5}{6} = \frac{15}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
   • Тогда: \(a^{\frac{5}{3}} : a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{3}-\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{6}}\)
   • В итоге получаем: \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{a^6}}{\sqrt[6]{a^5}} = \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{3}}\)
   • Исходное выражение: \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^2}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}+2}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{2}-\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{3}}\)
   • Запишем в виде дроби: \(\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{10}{6}} = a^{\frac{5}{3}}\)
   • После упрощения получаем: \(a^{\frac{5}{2}}/a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{3}}\)
   • Разделим исходное выражение \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^2\) на \(a^{\frac{5}{6}}\)
   • \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^2}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{3}}\)
   • Выражение после деления упрощается до: \(a^{-\frac{1}{6}}\)
   • Запишем ответ в виде корня: \(a^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{a}}\)

Ответ: a) a^{\frac{3}{4}}; b) \frac{1}{\sqrt[6]{a}}