(a) ABC is a triangle. B is the point (1, −10), A is the point (4, 14) and \(\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}-11\\8\end{pmatrix}\). (i) Find the coordinates of C. (ii) Find \(\overrightarrow{BA}\). (iii) Find \(|\overrightarrow{CA}|\).

Перевод задания: (а) ABC — треугольник. B — точка (1, −10), A — точка (4, 14), а \(\overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix}-11\\8\end{pmatrix}\). (i) Найдите координаты C. (ii) Найдите вектор \(\overrightarrow{BA}\). (iii) Найдите длину вектора \(\overrightarrow{CA}\).

1. Так как \(\overrightarrow{CA}=A-C\), координаты C равны координатам A минус компоненты вектора:

   \(C=(4-(-11),\ 14-8)=(15,6)\).

   (Since \(\overrightarrow{CA}=A-C\), subtract the vector components from the coordinates of A: \(C=(4-(-11),\ 14-8)=(15,6)\).)

2. Вектор из B в A находим вычитанием координат B из координат A:

   \(\overrightarrow{BA}=(4-1,\ 14-(-10))=\begin{pmatrix}3\\24\end{pmatrix}\).

   (Subtract the coordinates of B from those of A: \(\overrightarrow{BA}=(4-1,\ 14-(-10))=\begin{pmatrix}3\\24\end{pmatrix}\).)

3. Длина вектора равна корню из суммы квадратов его компонент:

   \(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-11)^2+8^2}=\sqrt{121+64}=\sqrt{185}\).

   (The magnitude of a vector is the square root of the sum of the squares of its components: \(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-11)^2+8^2}=\sqrt{185}\).)