74. а) Алексею надо склеить 640 конвертов. Ежедневно он склеивает на одно и то же количесть конвертов больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Алексе склеил 10 конвертов. Определите, сколько конвертов было склеено за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней. б) Сергею надо склеить 805 конвертов. Ежедневно он склеивает на одно и то же количество конвертов больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Алексей склеил 25 конвертов. Определите, сколько конвертов было склеено за пятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

а) Решение:

Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = (a₁ + a_n) * n / 2

Нам известно:

• S₁₆ = 640 (всего конвертов)
• a₁ = 10 (в первый день)
• n = 16 (дней)

Подставим значения и найдем a₁₆ (сколько конвертов было склеено в последний день):

640 = (10 + a₁₆) * 16 / 2

640 = (10 + a₁₆) * 8

80 = 10 + a₁₆

a₁₆ = 70

Теперь мы знаем первый и последний члены прогрессии, а также количество членов. Разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

d = (a_n - a₁) / (n - 1)

В нашем случае:

d = (70 - 10) / (16 - 1) = 60 / 15 = 4

Разность (d) равна 4, то есть каждый день Алексей склеивал на 4 конверта больше, чем в предыдущий день.

Теперь найдем, сколько конвертов было склеено в четвертый день (a₄). Для этого можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1) * d

a₄ = 10 + (4 - 1) * 4

a₄ = 10 + 3 * 4

a₄ = 10 + 12

a₄ = 22

Ответ: В четвертый день Алексей склеил 22 конверта.

б) Решение:

Аналогично предыдущему пункту, решаем для Сергея:

• S₁₄ = 805
• a₁ = 25
• n = 14

Подставим значения и найдем a₁₄:

805 = (25 + a₁₄) * 14 / 2

805 = (25 + a₁₄) * 7

115 = 25 + a₁₄

a₁₄ = 90

Найдем разность арифметической прогрессии:

d = (90 - 25) / (14 - 1) = 65 / 13 = 5

Найдем, сколько конвертов было склеено в пятый день (a₅):

a₅ = 25 + (5 - 1) * 5

a₅ = 25 + 4 * 5

a₅ = 25 + 20

a₅ = 45

Ответ: В пятый день Сергей склеил 45 конвертов.