2) (2a-1) (6b2 +36-8)+(1-2a) (66² + 3b-10) = 4a-2. 115. Докажите, что значение выражения: 1) 86 + 215 кратно 9; 3) 95 - 38 кратно 24; 2) 144-74 кратно 5; 4) 64 - 36 кратно 7. Разложение многочлена на множители. Метод группировки 116. Разложите на множители: 1) ab+ac+xb+xc; 2) 5a+5b-am-bm; 3) 6m-mn-6+n; 4) a + a4 - 3a²-3; 2 5) 10ab-2a+5b²-b; 6) 2x³-3x²y-4x+6y; 2 7) x²y-x+ xy²-у; 2 8) am² -an-bm² +cn-cm²+bn. 117. Разложите многочлен на множители и найдите его зна- чение: 1) 12a²-12ax-7а +7х, если а = 2) 5x³-x²-5х+1, если х = 0,2.

Привет! Давай разберем эти задания вместе. Уверена, у тебя все получится!

Задание 115

В этом задании нужно доказать, что значение выражения кратно указанному числу.

1. 1) 8⁶ + 2¹⁵ кратно 9

   Представим 8 как (9 - 1) и 2 как √4:\[8^6 + 2^{15} = (9 - 1)^6 + (2^3)^5 = (9 - 1)^6 + 8^5\]

   Раскроем (9 - 1)⁶ по биному Ньютона, все члены, кроме последнего, будут делиться на 9:\[(9 - 1)^6 = 9k + (-1)^6 = 9k + 1\]

   Тогда выражение можно представить как:\[9k + 1 + 8^5\]

   Представим 8⁵ как (9 - 1)⁵:\[8^5 = (9 - 1)^5 = 9m - 1\]

   Тогда выражение можно представить как:\[9k + 1 + 9m - 1 = 9k + 9m = 9(k + m)\]

   Так как 9(k + m) делится на 9, то 8⁶ + 2¹⁵ кратно 9.

2. 2) 14⁴ - 7⁴ кратно 5

   Вынесем 7⁴ за скобки:\[14^4 - 7^4 = (2 \cdot 7)^4 - 7^4 = 7^4(2^4 - 1) = 7^4(16 - 1) = 7^4 \cdot 15\]

   Так как 15 делится на 5, то 7⁴ \cdot 15 тоже делится на 5. Следовательно, 14⁴ - 7⁴ кратно 5.

3. 3) 9⁵ - 3⁸ кратно 24

   Представим 9 как 3²:\[9^5 - 3^8 = (3^2)^5 - 3^8 = 3^{10} - 3^8 = 3^8(3^2 - 1) = 3^8(9 - 1) = 3^8 \cdot 8\]

   Разложим 3⁸ \cdot 8 как 3⁶ \cdot 9 \cdot 8 = 3⁶ \cdot 72

   Так как 72 делится на 24, то 3⁶ \cdot 72 тоже делится на 24. Следовательно, 9⁵ - 3⁸ кратно 24.

4. 4) 6⁴ - 3⁶ кратно 7

   Представим 6 как 2 \cdot 3:\[6^4 - 3^6 = (2 \cdot 3)^4 - 3^6 = 2^4 \cdot 3^4 - 3^6 = 16 \cdot 3^4 - 3^6 = 16 \cdot 81 - 729 = 1296 - 729 = 567\]

   Разделим 567 на 7: 567 / 7 = 81

   Так как 567 делится на 7, то 6⁴ - 3⁶ кратно 7.

Задание 116

В этом задании нужно разложить многочлены на множители.

1. 1) ab + ac + xb + xc

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[ab + ac + xb + xc = a(b + c) + x(b + c) = (a + x)(b + c)\]

2. 2) 5a + 5b - am - bm

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[5a + 5b - am - bm = 5(a + b) - m(a + b) = (5 - m)(a + b)\]

3. 3) 6m - mn - 6 + n

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[6m - mn - 6 + n = 6(m - 1) - n(m - 1) = (6 - n)(m - 1)\]

4. 4) a⁶ + a⁴ - 3a² - 3

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = a^4(a^2 + 1) - 3(a^2 + 1) = (a^4 - 3)(a^2 + 1)\]

5. 5) 10ab - 2a + 5b² - b

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[10ab - 2a + 5b^2 - b = 2a(5b - 1) + b(5b - 1) = (2a + b)(5b - 1)\]

6. 6) 2x³ - 3x²y - 4x + 6y

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = x^2(2x - 3y) - 2(2x - 3y) = (x^2 - 2)(2x - 3y)\]

7. 7) x²y - x + xy² - y

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[x^2y - x + xy^2 - y = x(xy - 1) + y(xy - 1) = (x + y)(xy - 1)\]

8. 8) am² - an - bm² + cn - cm² + bn

   Сгруппируем члены и вынесем общие множители:\[am^2 - an - bm^2 + bn + cn - cm^2 = a(m^2 - n) - b(m^2 - n) - c(m^2 - n) = (a - b - c)(m^2 - n)\]

Задание 117

В этом задании нужно разложить многочлен на множители и найти его значение при заданных значениях переменных.

1. 1) 12a² - 12ax - 7a + 7x, если a = 1 ⅙, x = ⅔

   Разложим на множители:\[12a^2 - 12ax - 7a + 7x = 12a(a - x) - 7(a - x) = (12a - 7)(a - x)\]

   Подставим значения a и x:\[a = 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}, \quad x = \frac{2}{3}\]

   \[(12 \cdot \frac{7}{6} - 7)(\frac{7}{6} - \frac{2}{3}) = (14 - 7)(\frac{7}{6} - \frac{4}{6}) = 7 \cdot \frac{3}{6} = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5\]

2. 2) 5x³ - x² - 5x + 1, если x = 0,2

   Разложим на множители:\[5x^3 - x^2 - 5x + 1 = x^2(5x - 1) - (5x - 1) = (x^2 - 1)(5x - 1)\]

   Подставим значение x:\[x = 0.2 = \frac{1}{5}\]

   \[((\frac{1}{5})^2 - 1)(5 \cdot \frac{1}{5} - 1) = (\frac{1}{25} - 1)(1 - 1) = (\frac{1}{25} - 1) \cdot 0 = 0\]

Ответ: 115. доказательство в решении, 116. разложение на множители в решении, 117.1 - 3.5, 117.2 - 0

Молодец! Ты отлично справляешься с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!