А что если мама дополнит список ещё тремя поручениями: г) заплатить за электричество; д) вынести мусор; е) пропылесосить ковёр в гостиной?

В данном случае необходимо определить количество способов распределения шести заданий между тремя ребятами, при условии, что каждый ребенок должен выполнить хотя бы одно задание.

Это задача на размещение с повторениями, где важно учитывать, что каждый ребенок должен выполнить хотя бы одно задание. Общее количество способов распределить шесть заданий между тремя ребятами без ограничений рассчитывается как $$3^6 = 729$$, так как каждое из шести заданий может быть выполнено любым из трех ребят.

Теперь необходимо исключить случаи, когда один или два ребенка не получают заданий. Если только один ребенок выполняет все задания, то это можно сделать тремя способами (каждый из трех может быть выбран). Если два ребенка выполняют задания, то можно выбрать двух ребят из трех $$C(3,2) = 3$$ способами. Затем, распределить все 6 заданий между этими двумя ребятами, исключив случаи, когда все задания выполняет только один из них. Это можно сделать $$2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$$ способами. Таким образом, получаем $$3 \times 62 = 186$$ вариантов.

Используя принцип включения-исключения, получаем: $$3^6 - C(3,1) \cdot 2^6 + C(3,2) \cdot 1^6 = 729 - 3 \cdot 64 + 3 \cdot 1 = 729 - 192 + 3 = 540$$

Ответ: 540