А2. Дан / АВС, равный 75°. Через точку А проведен параллельная прямой ВС и пересекающая биссектрис Найдите углы треугольника АВМ.

Дано: ∠ABC = 75°, AM - биссектриса ∠BAC, AM || BC.

Найти: углы треугольника ABM.

Решение:

1) ∠ABM = ∠ABC = 75° (по условию).

2) ∠BAM = ∠BCA (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и BC и секущей AC).

3) ∠BAM = ∠MAC (так как AM - биссектриса ∠BAC).

4) ∠BCA = ∠MAC (из пунктов 2 и 3).

5) Пусть ∠BCA = x, тогда ∠MAC = x.

6) ∠BAC = ∠BAM + ∠MAC = x + x = 2x.

7) В треугольнике ABC: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180° (сумма углов треугольника).

75° + x + 2x = 180°.

3x = 180° - 75°.

3x = 105°.

x = 35°.

8) ∠BAM = ∠BCA = 35°.

9) В треугольнике ABM: ∠ABM + ∠BAM + ∠AMB = 180° (сумма углов треугольника).

75° + 35° + ∠AMB = 180°.

∠AMB = 180° - 75° - 35°.

∠AMB = 70°.

Ответ: ∠ABM = 75°, ∠BAM = 35°, ∠AMB = 70°.