82. а) Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между прямой $$B_1D$$ и плоскостью $$ABB_1$$.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Прямая $$B_1D$$ является диагональю грани $$B_1C_1CD$$. Угол между прямой $$B_1D$$ и плоскостью $$ABB_1$$ – это угол между прямой $$B_1D$$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $$D$$ на плоскость $$ABB_1$$ является точка $$A$$. Тогда проекцией прямой $$B_1D$$ на плоскость $$ABB_1$$ будет прямая $$B_1A$$. Значит, угол между прямой $$B_1D$$ и плоскостью $$ABB_1$$ - это угол $$DB_1A$$. Так как $$AB_1D_1$$ – прямоугольник, а диагонали прямоугольника равны, то $$B_1D=AD_1$$. Треугольник $$AB_1D$$ равнобедренный, но не прямоугольный. Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Он прямоугольный и равнобедренный, следовательно, угол $$AB_1B$$ равен 45°. Аналогично угол $$C_1B_1B$$ равен 45°. Тогда угол $$AB_1D$$ не равен 90°.

Заметим, что $$AD_1$$ параллельна $$B_1C$$, а значит, угол между $$B_1D$$ и плоскостью $$ABB_1$$ равен углу между $$B_1C$$ и плоскостью $$ABB_1$$. Проекция $$B_1C$$ на плоскость $$ABB_1$$ - это прямая $$AB_1$$. Угол $$CB_1A$$ и есть искомый угол.

Треугольник $$AB_1C$$ прямоугольный, так как $$ABB_1$$ и $$B_1CC_1$$ – квадраты. $$AB_1=B_1C$$, значит, треугольник равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны 45°.

Значит, угол между прямой $$B_1D$$ и плоскостью $$ABB_1$$ равен 45°.

Ответ: 45°