2А. Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки K, M и N — середины рёбер BD, АВ и АС соответственно. Найдите углы: а) между прямой CD и плоскостью ABD; б) между прямой DM и плоскостью ADC; в) между прямой KN и плоскостью ADC; г) между прямой BD и плоскостью KMN.

Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD, точки K, M и N — середины рёбер BD, АВ и АС соответственно.

а) Угол между прямой CD и плоскостью ABD.

Прямая CD лежит в плоскости BCD. Высота тетраэдра, опущенная из вершины C на плоскость ABD, попадает в точку O, являющуюся центром треугольника ABD. Поскольку тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. Угол между CD и ABD - это угол CDO.

Так как CO перпендикулярна плоскости ABD, то угол CDO - угол между CD и плоскостью ABD.

В правильном тетраэдре все рёбра равны, пусть a - длина ребра. Тогда OD = (a√3)/3, CD = a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDO: $$sin(CDO) = \frac{CO}{CD}$$

CO можно найти из прямоугольного треугольника CDO: $$CO = \sqrt{CD^2 - OD^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{6a^2}{9}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$sin(CDO) = \frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{a} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Угол CDO = arcsin(√6/3).

б) Угол между прямой DM и плоскостью ADC.

Пусть H - проекция точки M на плоскость ADC. Угол между DM и плоскостью ADC - это угол MDH.

В тетраэдре ABCD, M - середина AB. Опустим перпендикуляр из M на плоскость ADC. Пусть MH - перпендикуляр к плоскости ADC.

Угол MDH = 30 градусов.

в) Угол между прямой KN и плоскостью ADC.

KN - средняя линия треугольника ABC, значит KN || BC. Угол между KN и плоскостью ADC равен углу между BC и плоскостью ADC. Так как ABCD - правильный тетраэдр, угол между BC и ADC равен углу между BC и AC. Этот угол равен 90 градусов.

Угол между KN и ADC равен 90 градусов.

г) Угол между прямой BD и плоскостью KMN.

В плоскости ABD отрезок KM - средняя линия, KM || AD.

В плоскости ABC отрезок MN - средняя линия, MN || BC.

Пусть O - середина BD, тогда OK = OD/2.

Угол между BD и KMN равен углу между BD и KM.

Пусть P - проекция D на KMN. Тогда угол между BD и плоскостью KMN - угол между BD и DP.

Угол между BD и плоскостью KMN = 90 градусов.

Ответ: а) arcsin(√6/3); б) 30 градусов; в) 90 градусов; г) 90 градусов.