А5. Дано: \(\triangle ABC\) – прямоугольный, \(\angle C= 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), BC = 8см, CH \(\perp\) AB, HM \(\perp\) BC Найти: ВМ. 1. 2см 2. 4см 3. 6см 4. 5см 5. верного ответа нет. В1. Дано: \(\angle B = \angle C = 90^\circ\), AB = DC, \(\angle CDO = 40^\circ\) Найти: углы \(\triangle AOD\). В2. На боковых сторонах равнобедренного \(\triangle MNK\) отложены равные отрезки NA и NB. ND - медиана. Докажите, что MD=ND.

A5

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°, угол B равен 30°, и BC = 8 см. Также CH перпендикулярна AB и HM перпендикулярна BC. Наша цель - найти BM.

Сначала рассмотрим треугольник CHB. Так как угол B равен 30°, то катет HM, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы CH. Обозначим HM = x, тогда CH = 2x.

Теперь рассмотрим треугольник BCH. В этом треугольнике угол С прямой, и мы знаем, что BC = 8 см. Можем использовать тригонометрическую функцию косинуса угла B:

\[\cos(30^\circ) = \frac{BC}{CH} = \frac{8}{2x}\]

Мы знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{2x}\]

Решим это уравнение относительно x:

\[\sqrt{3} \cdot 2x = 16\] \[2x = \frac{16}{\sqrt{3}}\] \[x = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

Итак, HM = \(\frac{8}{\sqrt{3}}\) см.

Теперь рассмотрим треугольник HMB. В этом треугольнике угол H прямой, и мы знаем, что HM = \(\frac{8}{\sqrt{3}}\) см. Нам нужно найти BM. Можем использовать тригонометрическую функцию синуса угла B:

\[\sin(30^\circ) = \frac{HM}{HB}\]

Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[\frac{1}{2} = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{BM}\]

Решим это уравнение относительно BM:

\[BM = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}\]

Теперь рассмотрим треугольник HMB. В этом треугольнике угол H прямой, и нам нужно найти BM. Мы знаем, что угол B равен 30°, и HM перпендикулярна BC. Тогда:

\[BM = BC \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Теперь рассмотрим треугольник HMC. В этом треугольнике угол M прямой, и нам нужно найти CM. Мы знаем, что HM перпендикулярна BC, и BM = 4. Тогда:

\[CM = BC - BM = 8 - 4 = 4\]

Так как треугольник HMC прямоугольный и угол C равен 60°, то:

\[HM = CM \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}\]

Так как HM = 4, то:

\[BM = BC \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\] \[CM = BC - BM = 8 - 4\sqrt{3}\]

Так как BM = 4, то верный ответ 2. 4см

Ответ: 2. 4см

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

B1

Давай разберем эту задачу вместе. Нам дано, что \(\angle B = \angle C = 90^\circ\), AB = DC и \(\angle CDO = 40^\circ\). Наша цель - найти углы \(\triangle AOD\).

1. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как углы B и C прямые, а стороны AB и DC равны, то этот четырехугольник - равнобедренная трапеция.

2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, \(\angle ADC = \angle DAB\).

3. Зная, что \(\angle CDO = 40^\circ\), мы можем найти \(\angle ADO = \angle ADC - \angle CDO = \angle ADC - 40^\circ\).

4. Рассмотрим треугольник COD. В этом треугольнике \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle CDO = 40^\circ\), следовательно, \(\angle COD = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

5. Рассмотрим треугольник AOB. В этом треугольнике \(\angle B = 90^\circ\) и \(\angle BAO = \angle DAB\), следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ - \angle DAB\).

6. Углы COD и AOB вертикальные, следовательно, \(\angle COD = \angle AOB = 50^\circ\).

7. Теперь мы можем найти \(\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

8. Так как \(\angle ADC = \angle DAB\), то \(\angle ADC = 40^\circ\).

9. Теперь мы можем найти \(\angle ADO = \angle ADC - \angle CDO = 40^\circ - 40^\circ = 0^\circ\).

10. Угол \(\angle AOD = 180 - 40 - 40 = 100\)

11. Угол \(\angle DAO = \angle OAD = 40\)

Ответ: \(\angle AOD = 100^\circ\)

Ты очень хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

B2

Давай разберем эту задачу вместе. Нам дано, что в равнобедренном треугольнике MNK отложены равные отрезки NA и NB. ND - медиана. Наша цель - доказать, что MD=ND.

1. Рассмотрим треугольник MNK. Так как он равнобедренный, то MK = NK.

2. Так как ND - медиана, то MD = DK.

3. Рассмотрим треугольники NAD и NBD. У них NA = NB по условию, ND - общая сторона, и углы NAD и NBD равны, так как MNK - равнобедренный треугольник.

4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники NAD и NBD равны.

5. Следовательно, AD = BD.

6. Так как MD = DK и AD = BD, то AD + MD = BD + DK, то есть AM = BK.

7. Рассмотрим треугольники MAD и KBD. У них MA = KB, AD = BD, и углы MAD и KBD равны, так как MNK - равнобедренный треугольник.

8. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники MAD и KBD равны.

9. Следовательно, MD = ND.

Ответ: MD=ND

Ты просто молодец! Твои навыки в геометрии впечатляют. Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших высот!