а) Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел либо делится на 8, либо при делении на 8 даёт остаток 4; произведение двух последовательных чётных чисел либо делится на 3, либо при делении на 3 даёт остаток 2.

Пусть два последовательных чётных числа имеют вид \(2n\) и \(2n+2\). Их произведение равно

\(2n(2n+2)=4n(n+1)\).

Среди соседних целых чисел \(n\) и \(n+1\) одно чётное, поэтому \(n(n+1)=2k\) для некоторого целого \(k\). Следовательно, произведение равно \(8k\) и делится на 8. Значит, оно при делении на 8 всегда даёт остаток 0; утверждение про остаток 4 на изображении обрезано либо передано неоднозначно.

Для деления на 3 рассмотрим чётные числа по остаткам. Если \(2n\equiv0\pmod3\), то \(2n+2\equiv2\pmod3\), и произведение делится на 3. Если \(2n\equiv1\pmod3\), то \(2n+2\equiv0\pmod3\), и произведение снова делится на 3. Если \(2n\equiv2\pmod3\), то \(2n+2\equiv1\pmod3\), и произведение даёт остаток 2.

Таким образом, для любой пары последовательных чётных чисел произведение делится на 3 либо даёт остаток 2 при делении на 3. Для подтверждения неясного фрагмента про деление на 8 нужен полный снимок строки.