a) f (x)=x²-2x²; B) f(x)=2x-3x²+4; 6) f (x) = +27 3x+x2; r) f (x) = x²-5x+6 x³-8 Докажите, что данное уравнение имеет корень, при. надлежащий отрезку 0; 1, и найдите его с точностью 243. до 0,1: a) 1,4-10x² - x³ = 0; в) х³-5x+3=0; б) 1+2x²-100x4 = 0; г) х²+2x-0,5=0. Решите неравенства (244-245). 244. a) x²-5x+4>0; в) х²-3x-4≤0; б) x+3 x²+4x-5 ≥0; г) x²-7x+6 <0. x-2 245.- a) (x-2)(x-4) x²+2x-3 ≥0; б) 8 x²-6x+8 <1; B) 2x²+5x x²+5x+4 ≥1; г) x²-2x-3 (x+3) (x-4) <0. 246.- Найдите область определения функции: 4 a) f(x)=x-x-3; B) f(x) f(x)=V = x²+7x+12 x ; 6) f(x)=x+1; r) f(x)=√1-1 . 247.- При каких значениях т функция в непрерывна на всей числовой прямой, если:

Решение заданий 244-246

Задание 244

a) Решим неравенство: \[x^2 - 5x + 4 > 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения \[x^2 - 5x + 4 = 0\]

Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]

Корни: \[x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1\], \[x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\]

Неравенство принимает вид: \[(x - 1)(x - 4) > 0\]

Решением являются интервалы: \[x < 1\] или \[x > 4\]

Ответ: \[x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\]

б) Решим неравенство: \[\frac{x+3}{x^2+4x-5} \ge 0\]

Разложим знаменатель на множители, найдя корни уравнения \[x^2 + 4x - 5 = 0\]

По теореме Виета, корни: \[x_1 = -5\], \[x_2 = 1\]

Неравенство принимает вид: \[\frac{x+3}{(x+5)(x-1)} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -5, -3, 1 на числовой прямой. Получаем интервалы:

        +       -       +       -       
-------(-5)----(-3)----(1)-------->

Решением являются интервалы: \(x \in (-5, -3] \cup (1, +\infty)\)

Ответ: \(x \in (-5, -3] \cup (1, +\infty)\)

в) Решим неравенство: \[x^2 - 3x - 4 \le 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения \[x^2 - 3x - 4 = 0\]

По теореме Виета, корни: \[x_1 = -1\], \[x_2 = 4\]

Неравенство принимает вид: \[(x + 1)(x - 4) \le 0\]

Решением является интервал: \[x \in [-1, 4]\]

Ответ: \[x \in [-1, 4]\]

г) Решим неравенство: \[\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} < 0\]

Разложим числитель на множители, найдя корни уравнения \[x^2 - 7x + 6 = 0\]

По теореме Виета, корни: \[x_1 = 1\], \[x_2 = 6\]

Неравенство принимает вид: \[\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} < 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки 1, 2, 6 на числовой прямой. Получаем интервалы:

   -      +      -      +     
---(1)---(2)---(6)---->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, 1) \cup (2, 6)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, 1) \cup (2, 6)\]

Задание 245

a) Решим неравенство: \[\frac{(x-2)(x-4)}{x^2+2x-3} \ge 0\]

Разложим знаменатель на множители, найдя корни уравнения \[x^2 + 2x - 3 = 0\]

По теореме Виета, корни: \[x_1 = -3\], \[x_2 = 1\]

Неравенство принимает вид: \[\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -3, 1, 2, 4 на числовой прямой. Получаем интервалы:

 +   -   +   -   + 
----(-3)---(1)---(2)---(4)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2] \cup [4, +\infty)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2] \cup [4, +\infty)\]

б) Решим неравенство: \[\frac{8}{x^2-6x+8} < 1\]

Преобразуем неравенство: \[\frac{8}{x^2-6x+8} - 1 < 0\]

\[\frac{8 - (x^2-6x+8)}{x^2-6x+8} < 0\]

\[\frac{-x^2+6x}{x^2-6x+8} < 0\]

\[\frac{x(6-x)}{(x-2)(x-4)} < 0\]

\[\frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} > 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки 0, 2, 4, 6 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -   +   
---(0)---(2)---(4)---(6)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, +\infty)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, +\infty)\]

в) Решим неравенство: \[\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4} \ge 1\]

Преобразуем неравенство: \[\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4} - 1 \ge 0\]

\[\frac{2x^2+5x - (x^2+5x+4)}{x^2+5x+4} \ge 0\]

\[\frac{x^2 - 4}{x^2+5x+4} \ge 0\]

\[\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+4)} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -4, -2, -1, 2 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -   +  
---(-4)---(-2)---(-1)---(2)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, -4) \cup [-2, -1) \cup [2, +\infty)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, -4) \cup [-2, -1) \cup [2, +\infty)\]

г) Решим неравенство: \[\frac{x^2-2x-3}{(x+3)(x-4)} < 0\]

Разложим числитель на множители, найдя корни уравнения \[x^2 - 2x - 3 = 0\]

По теореме Виета, корни: \[x_1 = -1\], \[x_2 = 3\]

Неравенство принимает вид: \[\frac{(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-4)} < 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -3, -1, 3, 4 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -   + 
---(-3)---(-1)---(3)---(4)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-3, -1) \cup (3, 4)\]

Ответ: \[x \in (-3, -1) \cup (3, 4)\]

Задание 246

a) Найдем область определения функции: \[f(x) = \sqrt{x - \frac{4}{x-3}}\]

Необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[x - \frac{4}{x-3} \ge 0\]

\[\frac{x(x-3) - 4}{x-3} \ge 0\]

\[\frac{x^2 - 3x - 4}{x-3} \ge 0\]

\[\frac{(x-4)(x+1)}{x-3} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -1, 3, 4 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   - 
---(-1)---(3)---(4)--->

Решением являются интервалы: \[x \in [-1, 3) \cup [4, +\infty)\]

Ответ: \[x \in [-1, 3) \cup [4, +\infty)\]

б) Найдем область определения функции: \[f(x) = \sqrt{\frac{3}{x^2 - 4} + 1}\]

Необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[\frac{3}{x^2 - 4} + 1 \ge 0\]

\[\frac{3 + x^2 - 4}{x^2 - 4} \ge 0\]

\[\frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} \ge 0\]

\[\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -2, -1, 1, 2 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -   +   
---(-2)---(-1)---(1)---(2)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, +\infty)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, +\infty)\]

в) Найдем область определения функции: \[f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 7x + 12}{x}}\]

Необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[\[\frac{x^2 + 7x + 12}{x} \ge 0\]

\[\frac{(x+3)(x+4)}{x} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -4, -3, 0 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -  
---(-4)---(-3)---(0)--->

Решением являются интервалы: \[x \in [-4, -3] \cup (0, +\infty)\]

Ответ: \[x \in [-4, -3] \cup (0, +\infty)\]

г) Найдем область определения функции: \[f(x) = \sqrt{1 - \frac{8}{x^2 - 1}}\]

Необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[1 - \frac{8}{x^2 - 1} \ge 0\]

\[\frac{x^2 - 1 - 8}{x^2 - 1} \ge 0\]

\[\frac{x^2 - 9}{x^2 - 1} \ge 0\]

\[\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+1)} \ge 0\]

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки -3, -1, 1, 3 на числовой прямой. Получаем интервалы:

+   -   +   -   +  
---(-3)---(-1)---(1)---(3)--->

Решением являются интервалы: \[x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 1) \cup [3, +\infty)\]

Ответ: \[x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 1) \cup [3, +\infty)\]