a) \(\frac{20}{31} \cdot \left( 10\frac{1}{5} : 1\frac{2}{15} - 2\frac{4}{9} + 3\frac{7}{9} \right) - 2\frac{5}{6}\)

Решение:

1. Приведём смешанные числа к неправильным дробям:
• \(10\frac{1}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{51}{5}\)
• \(1\frac{2}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{17}{15}\)
• \(2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}\)
• \(3\frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{34}{9}\)
• \(2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}\)
2. Выполним деление в скобках:
• \(\frac{51}{5} : \frac{17}{15} = \frac{51}{5} \cdot \frac{15}{17} = \frac{3 \cdot 17}{5} \cdot \frac{3 \cdot 5}{17} = 3 \cdot 3 = 9\)
3. Выполним сложение и вычитание в скобках:
• \(9 - \frac{22}{9} + \frac{34}{9} = 9 + \frac{34 - 22}{9} = 9 + \frac{12}{9} = 9 + \frac{4}{3}\)
• \(9 + \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 4}{3} = \frac{27 + 4}{3} = \frac{31}{3}\)
4. Выполним умножение:
• \(\frac{20}{31} \cdot \frac{31}{3} = \frac{20 \cdot 31}{31 \cdot 3} = \frac{20}{3}\)
5. Выполним вычитание:
• \(\frac{20}{3} - \frac{17}{6} = \frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{17}{6} = \frac{40}{6} - \frac{17}{6} = \frac{40 - 17}{6} = \frac{23}{6}\)
6. Представим результат в виде смешанного числа:
• \(\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}\)

Ответ: \(3\frac{5}{6}\).