А-8. К-5 «Квадратные уравнения Теорема Виета» 1) Решите уравнение. a) 3x²-21=0; 6)6x²+11x=0; B) x² + x - 56 = 0; г) 2x²-19x + 9 = 0; д) 3x² - х+11=0; e) 9x² +6x+1=0. 2) Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -13, а произведение корней равно числу 9. 3) Один из корней уравнения 4x² + bx +3=0 равен -3. Найдите второй корень уравнения и коэффициент в. 4) Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 1 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника. 5) При каком значении р уравнение 4x² - 8х + р = 0 имеет единственный корень? 6) Известно, что х/ и х2 - корни уравнения х²+10x + 5 = 0. He решая уравнения, найдите значение выражениях + х

1) Решите уравнение:

• a) \[3x^2 - 21 = 0\] \[3x^2 = 21\] \[x^2 = 7\] \[x = \pm\sqrt{7}\]
• б) \[6x^2 + 11x = 0\] \[x(6x + 11) = 0\] \[x = 0 \quad \text{или} \quad 6x + 11 = 0\] \[x = 0 \quad \text{или} \quad x = -\frac{11}{6}\]
• в) \[x^2 + x - 56 = 0\] Используем теорему Виета: \[x_1 + x_2 = -1\] \[x_1 \cdot x_2 = -56\] Подбираем корни: \[x_1 = -8, x_2 = 7\]
• г) \[2x^2 - 19x + 9 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 361 - 72 = 289\] \[x = \frac{19 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{19 \pm 17}{4}\] \[x_1 = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9\] \[x_2 = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
• д) \[3x^2 - x + 11 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131\] Дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет действительных корней.
• e) \[9x^2 + 6x + 1 = 0\] Это полный квадрат: \[(3x + 1)^2 = 0\] \[3x + 1 = 0\] \[x = -\frac{1}{3}\]

2) Составьте приведённое квадратное уравнение:

Сумма корней равна -13, произведение корней равно 9. Приведённое квадратное уравнение имеет вид:

\[x^2 + px + q = 0\]

где p = -(сумма корней), q = произведение корней.

\[x^2 + 13x + 9 = 0\]

3) Один из корней уравнения 4x² + bx + 3 = 0 равен -3. Найдите второй корень уравнения и коэффициент b.

Пусть \[x_1 = -3\] — один из корней. Используем теорему Виета для полного квадратного уравнения \[ax^2 + bx + c = 0\]:

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\] \[-3 \cdot x_2 = \frac{3}{4}\] \[x_2 = -\frac{1}{4}\]

Сумма корней:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[-3 - \frac{1}{4} = -\frac{b}{4}\] \[-\frac{13}{4} = -\frac{b}{4}\] \[b = 13\]

4) Диагональ прямоугольника:

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда диагональ равна (x + 8) см, а другая сторона равна (x + 7) см. Используем теорему Пифагора:

\[x^2 + (x + 7)^2 = (x + 8)^2\] \[x^2 + x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\] \[(x - 5)(x + 3) = 0\]

Отсюда x = 5 (так как длина не может быть отрицательной). Тогда стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

5) При каком значении p уравнение 4x² - 8x + p = 0 имеет единственный корень?

Для того чтобы квадратное уравнение имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot p = 64 - 16p\] \[64 - 16p = 0\] \[16p = 64\] \[p = 4\]

6) Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² + 10x + 5 = 0. Найдите значение выражения x₁² + x₂².

Используем теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = -10\] \[x_1 \cdot x_2 = 5\]

Нам нужно найти \[x_1^2 + x_2^2\]:

\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\] \[x_1^2 + x_2^2 = (-10)^2 - 2 \cdot 5 = 100 - 10 = 90\]