а) Какое уравнение называют биквадратным уравнение Как решают биквадратное уравнение? б) Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? 295. Представьте выражение в виде квадрата: a) x4; б) а6; в) y8; г) м10. 296. Какую замену неизвестного необходимо выполнить, чтоб уравнение стало квадратным: a) x² + 2x² + 1 = 0; б) m² - 3 + 2m² = 0; в) 4y² - 7y4 = 0; г) 15 – х² + 2x² = 0; д) х6 - 3x3 + 2 = 0; e) y − 4 = 0? Решите уравнение (297-299): 297. a) x4 – 3x² + 2 = 0; б) x4 – 10x² + 9 = 0; в) x4 - 5x² + 4 = 0; г) х4 – 26x² + 25 = 0; д) х4 – 20x² + 64 = 0; e) x² + 20x² + 64 = 0; ж) х4 - 5х2 + 6 = 0; ③ 4x4 - 41x² + 100 = 0; и) 3х4 - 5x² + 2 = 0; к 25x4 - 25x² + 6 = 0. 298. a) a⁴ + 2a² – 8 = 0; б) у⁴ + 9y² = 400; B) k4 = 12k² + 64; г) т² = 21m² + 100; д) п4 – 2n² + 1 = 0; e) 9x4 - 24x² + 16 = 0; ж) 6c4 – 35 = 11c²; 3) 10p⁴ – 21 = p². 299. a) x² + 6x² + 9 = 0; б) x4 – 14x2 – 15 = 0; в) 25x4 + 30x² + 9 = 0; г) 7х4 - 9x² + 3 = 0; д) 9x4 = 9x2 – 1; e) x4 = 30x² - 36; 2) 4 - x2 − 4 = 0;

Ответы на вопросы:

а) Биквадратным уравнением называют уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Решается оно путем введения новой переменной y = x², что приводит к квадратному уравнению ay² + by + c = 0. Затем находят корни квадратного уравнения и возвращаются к исходной переменной, чтобы найти корни биквадратного уравнения.

б) Биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Решение заданий:

295. Представьте выражение в виде квадрата:

a) x⁴ = (x²)²

б) a⁶ = (a³)²

в) y⁸ = (y⁴)²

г) m¹⁰ = (m⁵)²

296. Какую замену неизвестного необходимо выполнить, чтоб уравнение стало квадратным:

a) x⁴ + 2x² + 1 = 0; замена: y = x²

б) m⁴ - 3 + 2m² = 0; замена: y = m²

в) 4y² - 7y⁴ = 0; замена: x = y²

г) 15 – x⁴ + 2x² = 0; замена: y = x²

д) x⁶ - 3x³ + 2 = 0; замена: y = x³

e) y⁸ − 4 = 0; замена: x = y⁴

297. Решите уравнение:

a) x⁴ – 3x² + 2 = 0

Замена: y = x²

y² – 3y + 2 = 0

D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

y₁ = (3 + √1) / 2 = 4 / 2 = 2

y₂ = (3 - √1) / 2 = 2 / 2 = 1

x² = 2 → x = ±√2

x² = 1 → x = ±1

б) x⁴ – 10x² + 9 = 0

Замена: y = x²

y² – 10y + 9 = 0

D = (-10)² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64

y₁ = (10 + √64) / 2 = 18 / 2 = 9

y₂ = (10 - √64) / 2 = 2 / 2 = 1

x² = 9 → x = ±3

x² = 1 → x = ±1

в) x⁴ - 5x² + 4 = 0

Замена: y = x²

y² - 5y + 4 = 0

D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

y₁ = (5 + √9) / 2 = 8 / 2 = 4

y₂ = (5 - √9) / 2 = 2 / 2 = 1

x² = 4 → x = ±2

x² = 1 → x = ±1

г) x⁴ – 26x² + 25 = 0

Замена: y = x²

y² – 26y + 25 = 0

D = (-26)² - 4 * 1 * 25 = 676 - 100 = 576

y₁ = (26 + √576) / 2 = 50 / 2 = 25

y₂ = (26 - √576) / 2 = 2 / 2 = 1

x² = 25 → x = ±5

x² = 1 → x = ±1

д) x⁴ – 20x² + 64 = 0

Замена: y = x²

y² – 20y + 64 = 0

D = (-20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144

y₁ = (20 + √144) / 2 = 32 / 2 = 16

y₂ = (20 - √144) / 2 = 8 / 2 = 4

x² = 16 → x = ±4

x² = 4 → x = ±2

е) x⁴ + 20x² + 64 = 0

Замена: y = x²

y² + 20y + 64 = 0

D = (20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144

y₁ = (-20 + √144) / 2 = -8 / 2 = -4

y₂ = (-20 - √144) / 2 = -32 / 2 = -16

x² = -4 → нет решения (в вещественных числах)

x² = -16 → нет решения (в вещественных числах)

ж) x⁴ - 5x² + 6 = 0

Замена: y = x²

y² - 5y + 6 = 0

D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

y₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3

y₂ = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2

x² = 3 → x = ±√3

x² = 2 → x = ±√2

и) 3x⁴ - 5x² + 2 = 0

Замена: y = x²

3y² - 5y + 2 = 0

D = (-5)² - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1

y₁ = (5 + √1) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1

y₂ = (5 - √1) / (2 * 3) = 4 / 6 = 2/3

x² = 1 → x = ±1

x² = 2/3 → x = ±√(2/3)

к) 25x⁴ - 25x² + 6 = 0

Замена: y = x²

25y² - 25y + 6 = 0

D = (-25)² - 4 * 25 * 6 = 625 - 600 = 25

y₁ = (25 + √25) / (2 * 25) = 30 / 50 = 3/5

y₂ = (25 - √25) / (2 * 25) = 20 / 50 = 2/5

x² = 3/5 → x = ±√(3/5)

x² = 2/5 → x = ±√(2/5)

з) 4x⁴ - 41x² + 100 = 0

Замена: y = x²

4y² - 41y + 100 = 0

D = (-41)² - 4 * 4 * 100 = 1681 - 1600 = 81

y₁ = (41 + √81) / (2 * 4) = 50 / 8 = 25/4

y₂ = (41 - √81) / (2 * 4) = 32 / 8 = 4

x² = 25/4 → x = ±5/2

x² = 4 → x = ±2

298. Решите уравнение:

a) a⁴ + 2a² – 8 = 0

Замена: y = a²

y² + 2y - 8 = 0

D = (2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

y₁ = (-2 + √36) / 2 = 4 / 2 = 2

y₂ = (-2 - √36) / 2 = -8 / 2 = -4

a² = 2 → a = ±√2

a² = -4 → нет решения (в вещественных числах)

б) y⁴ + 9y² = 400

y⁴ + 9y² - 400 = 0

Замена: x = y²

x² + 9x - 400 = 0

D = (9)² - 4 * 1 * (-400) = 81 + 1600 = 1681

x₁ = (-9 + √1681) / 2 = 32 / 2 = 16

x₂ = (-9 - √1681) / 2 = -50 / 2 = -25

y² = 16 → y = ±4

y² = -25 → нет решения (в вещественных числах)

в) k⁴ = 12k² + 64

k⁴ - 12k² - 64 = 0

Замена: x = k²

x² - 12x - 64 = 0

D = (-12)² - 4 * 1 * (-64) = 144 + 256 = 400

x₁ = (12 + √400) / 2 = 32 / 2 = 16

x₂ = (12 - √400) / 2 = -8 / 2 = -4

k² = 16 → k = ±4

k² = -4 → нет решения (в вещественных числах)

г) m⁴ = 21m² + 100

m⁴ - 21m² - 100 = 0

Замена: x = m²

x² - 21x - 100 = 0

D = (-21)² - 4 * 1 * (-100) = 441 + 400 = 841

x₁ = (21 + √841) / 2 = 50 / 2 = 25

x₂ = (21 - √841) / 2 = -4 / 2 = -2

m² = 25 → m = ±5

m² = -2 → нет решения (в вещественных числах)

д) n⁴ – 2n² + 1 = 0

Замена: y = n²

y² – 2y + 1 = 0

(y - 1)² = 0

y = 1

n² = 1 → n = ±1

е) 9x⁴ - 24x² + 16 = 0

Замена: y = x²

9y² - 24y + 16 = 0

D = (-24)² - 4 * 9 * 16 = 576 - 576 = 0

y = 24 / (2 * 9) = 24 / 18 = 4/3

x² = 4/3 → x = ±√(4/3)

ж) 6c⁴ – 35 = 11c²

6c⁴ – 11c² - 35 = 0

Замена: y = c²

6y² - 11y - 35 = 0

D = (-11)² - 4 * 6 * (-35) = 121 + 840 = 961

y₁ = (11 + √961) / (2 * 6) = 50 / 12 = 25/6

y₂ = (11 - √961) / (2 * 6) = -32 / 12 = -8/3

c² = 25/6 → c = ±√(25/6)

c² = -8/3 → нет решения (в вещественных числах)

з) 10p⁴ – 21 = p²

10p⁴ - p² - 21 = 0

Замена: x = p²

10x² - x - 21 = 0

D = (-1)² - 4 * 10 * (-21) = 1 + 840 = 841

x₁ = (1 + √841) / (2 * 10) = 30 / 20 = 3/2

x₂ = (1 - √841) / (2 * 10) = -28 / 20 = -7/5

p² = 3/2 → p = ±√(3/2)

p² = -7/5 → нет решения (в вещественных числах)

299. Решите уравнение:

a) x⁴ + 6x² + 9 = 0

(x² + 3)² = 0

x² + 3 = 0

x² = -3

Нет решения (в вещественных числах)

б) x⁴ – 14x² – 15 = 0

Замена: y = x²

y² – 14y - 15 = 0

D = (-14)² - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256

y₁ = (14 + √256) / 2 = 28 / 2 = 15

y₂ = (14 - √256) / 2 = -2 / 2 = -1

x² = 15 → x = ±√15

x² = -1 → нет решения (в вещественных числах)

в) 25x⁴ + 30x² + 9 = 0

(5x² + 3)² = 0

5x² + 3 = 0

5x² = -3

x² = -3/5

Нет решения (в вещественных числах)

г) 7x⁴ - 9x² + 3 = 0

Замена: y = x²

7y² - 9y + 3 = 0

D = (-9)² - 4 * 7 * 3 = 81 - 84 = -3

Нет решения (в вещественных числах)

д) 9x⁴ = 9x² – 1

9x⁴ - 9x² + 1 = 0

Замена: y = x²

9y² - 9y + 1 = 0

D = (-9)² - 4 * 9 * 1 = 81 - 36 = 45

y₁ = (9 + √45) / (2 * 9) = (9 + 3√5) / 18 = (3 + √5) / 6

y₂ = (9 - √45) / (2 * 9) = (9 - 3√5) / 18 = (3 - √5) / 6

x² = (3 + √5) / 6 → x = ±√((3 + √5) / 6)

x² = (3 - √5) / 6 → x = ±√((3 - √5) / 6)

е) x⁴ = 30x² - 36

x⁴ - 30x² + 36 = 0

Замена: y = x²

y² - 30y + 36 = 0

D = (-30)² - 4 * 1 * 36 = 900 - 144 = 756

y₁ = (30 + √756) / 2 = (30 + 6√21) / 2 = 15 + 3√21

y₂ = (30 - √756) / 2 = (30 - 6√21) / 2 = 15 - 3√21

x² = 15 + 3√21 → x = ±√(15 + 3√21)

x² = 15 - 3√21 → x = ±√(15 - 3√21)

з) x⁴ − x² − 4 = 0

Замена: y = x²

y² − y − 4 = 0

D = (-1)² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17

y₁ = (1 + √17) / 2

y₂ = (1 - √17) / 2

x² = (1 + √17) / 2 → x = ±√((1 + √17) / 2)

x² = (1 - √17) / 2 → нет решения (в вещественных числах)

Ответ: Решения уравнений приведены выше.

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!