A. Каждая точка от его Обратно: каждая точка, лежащая от угла, лежит на его Доказательство. 1) Возьмём произвольную точку В на угла проведём и к прямым ОН и ДОВС = по (ОВ — общая гипотенуза, ∠1 = по условию). Сле- довательно, ВС = 2) Пусть точка В лежит внутри Проведём ДОВС = по гипотенузе и катету (ОВ — общая гипотенуза, ВС = по условию). Следовательно, ∠1 = , т. е. луч ОВ Теорема доказана.

Решение:

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:

1. Возьмём произвольную точку B на биссектрисе угла, проведём перпендикуляры BC и BH к сторонам угла OA и OD соответственно.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOBC и ΔOBH.
3. OB — общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 (по условию, так как OB — биссектриса).
4. Следовательно, ΔOBC = ΔOBH (по гипотенузе и острому углу).
5. Следовательно, BC = BH.
6. Пусть точка B лежит внутри угла HOT и равноудалена от его сторон. Проведём биссектрису OM.
7. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOBC и ΔOBH (где C и H — основания перпендикуляров, опущенных из B на стороны угла).
8. OB — общая гипотенуза, BC = BH (по условию).
9. Следовательно, ΔOBC = ΔOBH (по гипотенузе и катету).
10. Следовательно, ∠1 = ∠2, т. е. луч OB — биссектриса угла HOT.

Теорема доказана.