А-8, К-«Квадратные уравнения», В-6. 1°. Решите уравнение: a) x² + 2x - 8 = 0; 6) -5x2 + 6x = 0; в) 25x2 = 1; г) 3х2 - 14х - 5 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 98 см, а его площадь 360 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения x² + 8x + q = 0 равен 5. Найдите другой корень и сво- бодный член q.

1°. Решите уравнение:

a) $$x^2 + 2x - 8 = 0$$

• Решаем квадратное уравнение.
• Находим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 2$$, $$c = -8$$.
• $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$
• Находим корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.
• $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
• $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Ответ: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -4$$

б) $$-5x^2 + 6x = 0$$

• Решаем квадратное уравнение, выносим x за скобки.
• $$x(-5x + 6) = 0$$
• Получаем два случая: $$x = 0$$ или $$-5x + 6 = 0$$
• Решаем уравнение $$-5x + 6 = 0$$
• $$5x = 6$$
• $$x = \frac{6}{5} = 1.2$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 1.2$$

в) $$25x^2 = 1$$

• Преобразуем уравнение: $$25x^2 - 1 = 0$$
• Разложим на множители как разность квадратов: $$(5x - 1)(5x + 1) = 0$$
• Получаем два случая: $$5x - 1 = 0$$ или $$5x + 1 = 0$$
• Решаем уравнение $$5x - 1 = 0$$
• $$5x = 1$$
• $$x = \frac{1}{5} = 0.2$$
• Решаем уравнение $$5x + 1 = 0$$
• $$5x = -1$$
• $$x = -\frac{1}{5} = -0.2$$

Ответ: $$x_1 = 0.2$$, $$x_2 = -0.2$$

г) $$3x^2 - 14x - 5 = 0$$

• Решаем квадратное уравнение.
• Находим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 3$$, $$b = -14$$, $$c = -5$$.
• $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$
• Находим корни уравнения по формулам $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ и $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$.
• $$x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$$
• $$x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -\frac{1}{3}$$

2. Периметр прямоугольника равен 98 см, а его площадь 360 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

• Пусть $$a$$ и $$b$$ - длины сторон прямоугольника.
• Периметр прямоугольника: $$P = 2(a + b)$$.
• Площадь прямоугольника: $$S = a \cdot b$$.
• Из условия задачи: $$2(a + b) = 98$$ и $$a \cdot b = 360$$.
• $$a + b = 49$$
• $$b = 49 - a$$
• Подставляем в уравнение площади: $$a(49 - a) = 360$$
• $$49a - a^2 = 360$$
• $$a^2 - 49a + 360 = 0$$
• Решаем квадратное уравнение.
• Находим дискриминант: $$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$$
• Находим корни уравнения:
• $$a_1 = \frac{49 + \sqrt{961}}{2} = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$$
• $$a_2 = \frac{49 - \sqrt{961}}{2} = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
• Если $$a = 40$$, то $$b = 49 - 40 = 9$$.
• Если $$a = 9$$, то $$b = 49 - 9 = 40$$.

Ответ: 40 см и 9 см

3. Один из корней уравнения x² + 8x + q = 0 равен 5. Найдите другой корень и свободный член q.

• Пусть $$x_1 = 5$$ - один из корней уравнения $$x^2 + 8x + q = 0$$.
• Подставляем $$x_1$$ в уравнение: $$5^2 + 8 \cdot 5 + q = 0$$
• $$25 + 40 + q = 0$$
• $$65 + q = 0$$
• $$q = -65$$
• Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 + 8x - 65 = 0$$
• Находим второй корень.
• По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -8$$
• $$5 + x_2 = -8$$
• $$x_2 = -8 - 5 = -13$$

Ответ: $$x_2 = -13$$, $$q = -65$$