А-8, К-«Квадратные уравнения», В-4. 1°. Решите уравнение: a) 9x² - 7x - 2 = 0; б) 4x² - x = 0; в) 5x² = 45; г) х² + 18x - 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х² - 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и сво- бодный член q.

1°. Решите уравнение:

a) $$9x^2 - 7x - 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{2}{9}$$

б) $$4x^2 - x = 0$$

Выносим x за скобки:

$$x(4x - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x_1 = 0$$ $$4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{1}{4}$$

в) $$5x^2 = 45$$

Делим обе части уравнения на 5:

$$x^2 = \frac{45}{5} = 9$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -3$$

г) $$x^2 + 18x - 63 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -21$$

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда:

$$2(a + b) = 22$$ $$ab = 24$$

Из первого уравнения выражаем a + b:

$$a + b = 11 \Rightarrow a = 11 - b$$

Подставляем это во второе уравнение:

$$(11 - b)b = 24$$ $$11b - b^2 = 24$$ $$b^2 - 11b + 24 = 0$$

Решаем квадратное уравнение относительно b:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$ $$b_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$b_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Если $$b = 8$$, то $$a = 11 - 8 = 3$$. Если $$b = 3$$, то $$a = 11 - 3 = 8$$.

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 3 см и 8 см.

3. Один из корней уравнения х² - 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$x^2 - 7x + q = 0$$. Из условия $$x_1 = 13$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 7$$ $$x_1 \cdot x_2 = q$$

Тогда:

$$13 + x_2 = 7 \Rightarrow x_2 = 7 - 13 = -6$$ $$q = 13 \cdot (-6) = -78$$

Ответ: Другой корень равен -6, свободный член q = -78.