А-8, К-«Квадратные уравнения», В-14. 1°. Решите уравнение: a) x²- 7x + 12 = 0; 6) 0,2y² - y = 0; в) 3x² = 75; г) х²+ 8х + 12 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 360 м, а его площадь 7700 м². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х² - 26x + q = 0 равен 14. Найдите другой корень и свободный член q.

1. Решите уравнение:

a) x² - 7x + 12 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 3

б) 0,2y² - y = 0

Вынесем y за скобки:

$$y(0,2y - 1) = 0$$

Тогда либо y = 0, либо 0,2y - 1 = 0

$$0,2y = 1$$

$$y = \frac{1}{0,2} = 5$$

Ответ: y₁ = 0, y₂ = 5

в) 3x² = 75

Разделим обе части уравнения на 3:

$$x^2 = \frac{75}{3} = 25$$

$$x = \pm \sqrt{25} = \pm 5$$

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -5

г) x² + 8x + 12 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Ответ: x₁ = -2, x₂ = -6

2. Периметр прямоугольника равен 360 м, а его площадь 7700 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда периметр P = 2(a + b), а площадь S = a * b.

$$2(a + b) = 360$$

$$a + b = 180$$

$$a = 180 - b$$

$$a \cdot b = 7700$$

Подставим a = 180 - b в уравнение площади:

$$(180 - b)b = 7700$$

$$180b - b^2 = 7700$$

$$b^2 - 180b + 7700 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b:

$$D = (-180)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7700 = 32400 - 30800 = 1600$$

$$b_1 = \frac{-(-180) + \sqrt{1600}}{2} = \frac{180 + 40}{2} = \frac{220}{2} = 110$$

$$b_2 = \frac{-(-180) - \sqrt{1600}}{2} = \frac{180 - 40}{2} = \frac{140}{2} = 70$$

Если b = 110, то a = 180 - 110 = 70

Если b = 70, то a = 180 - 70 = 110

Ответ: длины сторон прямоугольника 70 м и 110 м.

3. Один из корней уравнения х² - 26x + q = 0 равен 14. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения x² - 26x + q = 0. По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-26}{1} = 26$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q$$

Из условия x₁ = 14:

$$14 + x_2 = 26$$

$$x_2 = 26 - 14 = 12$$

$$q = x_1 \cdot x_2 = 14 \cdot 12 = 168$$

Ответ: другой корень 12, свободный член q = 168.