А-8, К-«Квадратные уравнения», В-4. 1°. Решите уравнение: a) 9x²-7x-2=0; б) 4x² - x = 0; в) 5x2 = 45; г) х²+18x - 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х²- 7x + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и сво- бодный член q.

1. Решим уравнения: a) Решим квадратное уравнение $$9x^2 - 7x - 2 = 0$$. Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121$$. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$ Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{2}{9}$$. б) Решим квадратное уравнение $$4x^2 - x = 0$$. Вынесем x за скобки: $$x(4x - 1) = 0$$. Отсюда либо $$x = 0$$, либо $$4x - 1 = 0$$. $$4x - 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$. Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{1}{4}$$. в) Решим уравнение $$5x^2 = 45$$. Разделим обе части на 5: $$x^2 = 9$$. $$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$. Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -3$$. г) Решим квадратное уравнение $$x^2 + 18x - 63 = 0$$. Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$$. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$. Ответ: $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -21$$. 2. Пусть длины сторон прямоугольника $$a$$ и $$b$$. Тогда его периметр $$P = 2(a + b) = 22$$, а площадь $$S = a \cdot b = 24$$. $$a + b = \frac{22}{2} = 11 \Rightarrow b = 11 - a$$. Подставим в уравнение площади: $$a(11 - a) = 24$$. $$11a - a^2 = 24 \Rightarrow a^2 - 11a + 24 = 0$$. $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$. $$a_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$. $$a_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$. Если $$a = 8$$, то $$b = 11 - 8 = 3$$. Если $$a = 3$$, то $$b = 11 - 3 = 8$$. Ответ: Длины сторон прямоугольника 3 см и 8 см. 3. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения $$x^2 - 7x + q = 0$$. Тогда по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 7$$. $$x_1 \cdot x_2 = q$$. Известно, что $$x_1 = 13$$. Тогда $$13 + x_2 = 7 \Rightarrow x_2 = 7 - 13 = -6$$. $$q = x_1 \cdot x_2 = 13 \cdot (-6) = -78$$. Ответ: Второй корень равен -6, свободный член q равен -78.