А-8, К-«Квадратные уравнения», В-1. 1⁰. Решите уравнение: a) 2x²+7x-9=0; б) 3x² = 18x; в) 100х2 - 16 = 0; г) х²- 16x + 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 3. Решите уравнение: х²- 5=(x+5)(2x-1). 4. В уравнении х²+рх - 18 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

1. Решите уравнение:

a) 2x² + 7x - 9 = 0;

Для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, используем дискриминант D = b² - 4ac.

В данном случае: a = 2, b = 7, c = -9.

Сначала найдем дискриминант:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]

б) 3x² = 18x;

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

3x² - 18x = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

3x(x - 6) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, либо 3x = 0, либо x - 6 = 0.

3x = 0 => x = 0

x - 6 = 0 => x = 6

в) 100x² - 16 = 0;

Перенесем константу в правую часть уравнения:

100x² = 16

Разделим обе части на 100:

x² = 16/100 = 0.16

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

x = ±√0.16 = ±0.4

г) x² - 16x + 63 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр P = 2(a + b), а площадь S = a * b.

По условию, P = 20 см, S = 24 см².

2(a + b) = 20 => a + b = 10

a * b = 24

Выразим b через a из первого уравнения:

b = 10 - a

Подставим это во второе уравнение:

a(10 - a) = 24

10a - a² = 24

a² - 10a + 24 = 0

Найдем дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]

Корни:

\[a_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[a_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Если a = 6, то b = 10 - 6 = 4

Если a = 4, то b = 10 - 4 = 6

3. Решите уравнение: x² - 5 = (x + 5)(2x - 1).

Раскроем скобки в правой части уравнения:

x² - 5 = 2x² - x + 10x - 5

x² - 5 = 2x² + 9x - 5

Перенесем все члены в одну сторону:

2x² - x² + 9x - 5 + 5 = 0

x² + 9x = 0

Вынесем x за скобки:

x(x + 9) = 0

Получаем два решения:

x = 0

x + 9 = 0 => x = -9

4. В уравнении x² + px - 18 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть x₁ и x₂ - корни квадратного уравнения x² + px - 18 = 0. Известно, что x₁ = 9.

По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену, взятому с противоположным знаком, а сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком.

x₁ * x₂ = -18

x₁ + x₂ = -p

Подставим x₁ = 9 в первое уравнение:

9 * x₂ = -18

x₂ = -18 / 9 = -2

Теперь найдем p:

9 + (-2) = -p

7 = -p

p = -7

Ответ: a) x₁ = 1, x₂ = -4.5; б) x₁ = 0, x₂ = 6; в) x₁ = 0.4, x₂ = -0.4; г) x₁ = 9, x₂ = 7; 2) a=6, b=4 или a=4, b=6; 3) x₁ = 0, x₂ = -9; 4) x₂ = -2, p = -7