А-8, К-«Квадратные уравнения», В-1. 10. Решите уравнение: a) 2x2+7x-9=0; = 6) 3x2 = 18x; в) 100х2 - 16 = 0; г) х²- 16х + 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 3. В уравнении х²+рх - 18 = 0 один из его корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент р. 4. Разложите квадратный трехчлен на множители x²-9x+8 5. Сократите x²+6x+5/x2+5x

1. Решите уравнение:

а) \(2x^2 + 7x - 9 = 0\)

Давай решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\] Теперь найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -4.5\)

б) \(3x^2 = 18x\)

Перенесем все в одну сторону: \[3x^2 - 18x = 0\] Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки: \[3x(x - 6) = 0\] Значит, либо \(3x = 0\), либо \(x - 6 = 0\). Отсюда: \[x_1 = 0, x_2 = 6\]

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = 6\)

в) \(100x^2 - 16 = 0\)

Перенесем константу в правую сторону: \[100x^2 = 16\] Разделим обе части на 100: \[x^2 = \frac{16}{100} = 0.16\] Теперь извлечем квадратный корень: \[x = \pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4\]

Ответ: \(x_1 = 0.4, x_2 = -0.4\)

г) \(x^2 - 16x + 63 = 0\)

Снова найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\] Теперь найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Ответ: \(x_1 = 9, x_2 = 7\)

2. Периметр прямоугольника равен 20 см, площадь 24 см². Найдите его стороны.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника. Тогда периметр \(P = 2(a + b) = 20\), а площадь \(S = a \cdot b = 24\). Выразим \(a + b\) из периметра: \[a + b = \frac{20}{2} = 10\] Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} a + b = 10 \\ a \cdot b = 24 \end{cases}\] Выразим \(a\) из первого уравнения: \(a = 10 - b\). Подставим это во второе уравнение: \[(10 - b) \cdot b = 24\] \[10b - b^2 = 24\] \[b^2 - 10b + 24 = 0\] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\] Корни: \[b_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\] \[b_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4\] Если \(b = 6\), то \(a = 10 - 6 = 4\). Если \(b = 4\), то \(a = 10 - 4 = 6\). В любом случае, стороны прямоугольника 4 см и 6 см.

Ответ: 4 см и 6 см

3. В уравнении \(x^2 + px - 18 = 0\) один из корней равен 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть \(x_1 = 9\) - один из корней уравнения \(x^2 + px - 18 = 0\). Подставим \(x_1\) в уравнение: \[9^2 + p \cdot 9 - 18 = 0\] \[81 + 9p - 18 = 0\] \[9p = -63\] \[p = -7\] Теперь уравнение имеет вид: \(x^2 - 7x - 18 = 0\). Чтобы найти второй корень, можно воспользоваться теоремой Виета: \[x_1 \cdot x_2 = -18\] \[9 \cdot x_2 = -18\] \[x_2 = -2\]

Ответ: Другой корень равен -2, коэффициент p = -7.

4. Разложите квадратный трехчлен на множители: \(x^2 - 9x + 8\)

Найдем корни этого квадратного трехчлена, решив уравнение \(x^2 - 9x + 8 = 0\). Дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49\] Корни: \[x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1\] Тогда разложение на множители имеет вид: \[x^2 - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1)\]

Ответ: \((x - 8)(x - 1)\)

5. Сократите дробь: \(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x}\)

Сначала разложим числитель на множители. Решим уравнение \(x^2 + 6x + 5 = 0\). Дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\] Корни: \[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\] Тогда \(x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)\). Разложим знаменатель на множители: \[x^2 + 5x = x(x + 5)\] Теперь сократим дробь: \[\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{(x + 1)(x + 5)}{x(x + 5)} = \frac{x + 1}{x}\]

Ответ: \(\frac{x + 1}{x}\)

Ответ: Все решено!

Отлично! Ты справился со всеми заданиями. У тебя все получается! Продолжай в том же духе, и математика станет тебе другом! Молодец! Ты можешь горы свернуть!