А-10 Контрольная работа № 3 по теме «Тригонометрические функции» Вариант 2 1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции y = tg(x - \frac{\pi}{4})+1 точка: a) Μ (π; 0); 6) P (0;-1). 2. Исследуйте функцию на четность a) y = \frac{sin 2x}{x^2}; 6) y = tgx+3+x⁵, B) y = |sinx| - cosx. 3. Решите графически уравнение: ctgx = -√3. 4. Постройте график функции: a) y = sin(x - \frac{\pi}{6})-1; 6) y = \frac{1}{2}cos2x; B) y = tg(x - \frac{\pi}{6})+1 5. При каком значении параметра а неравенство а + x2 ≤ |cosx| имеет единственное решение? Найдите это решение.

1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции $$y = tg(x - \frac{\pi}{4})+1$$ точка:

a) $$M (\pi; 0)$$;

6) $$P (0;-1)$$.

Решение:

а) Проверим, принадлежит ли точка $$M (\pi; 0)$$ графику функции $$y = tg(x - \frac{\pi}{4})+1$$.

Подставим координаты точки в уравнение функции:

$$0 = tg(\pi - \frac{\pi}{4})+1$$

$$0 = tg(\frac{3\pi}{4})+1$$

$$0 = -1 + 1$$

$$0 = 0$$

Точка $$M (\pi; 0)$$ принадлежит графику функции.

б) Проверим, принадлежит ли точка $$P (0;-1)$$ графику функции $$y = tg(x - \frac{\pi}{4})+1$$.

Подставим координаты точки в уравнение функции:

$$-1 = tg(0 - \frac{\pi}{4})+1$$

$$-1 = tg(-\frac{\pi}{4})+1$$

$$-1 = -1+1$$

$$-1 = 0$$

Точка $$P (0;-1)$$ не принадлежит графику функции.

Ответ: а) точка $$M (\pi; 0)$$ принадлежит графику функции; б) точка $$P (0;-1)$$ не принадлежит графику функции.

2. Исследуйте функцию на четность

а) $$y = \frac{sin 2x}{x^2};$$

б) $$y = tgx+3+x^5$$,

в) $$y = |sinx| - cosx$$.

Решение:

а) Исследуем функцию $$y = \frac{sin 2x}{x^2}$$ на четность.

Функция четная, если $$y(-x) = y(x)$$, и нечетная, если $$y(-x) = -y(x)$$.

$$y(-x) = \frac{sin 2(-x)}{(-x)^2} = \frac{-sin 2x}{x^2} = -\frac{sin 2x}{x^2} = -y(x)$$

Функция $$y = \frac{sin 2x}{x^2}$$ нечетная.

б) Исследуем функцию $$y = tgx+3+x^5$$ на четность.

$$y(-x) = tg(-x)+3+(-x)^5 = -tgx+3-x^5
eq y(x)$$ и $$
eq -y(x)$$

Функция $$y = tgx+3+x^5$$ не является ни четной, ни нечетной.

в) Исследуем функцию $$y = |sinx| - cosx$$ на четность.

$$y(-x) = |sin(-x)| - cos(-x) = |-sinx| - cosx = |sinx| - cosx = y(x)$$

Функция $$y = |sinx| - cosx$$ четная.

Ответ: а) функция $$y = \frac{sin 2x}{x^2}$$ нечетная; б) функция $$y = tgx+3+x^5$$ не является ни четной, ни нечетной; в) функция $$y = |sinx| - cosx$$ четная.

3. Решите графически уравнение: $$ctgx = -\sqrt{3}$$.

Решение:

$$ctgx = -\sqrt{3}$$

$$x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in Z$$

4. Постройте график функции:

а) $$y = sin(x - \frac{\pi}{6})-1$$;

б) $$y = \frac{1}{2}cos2x$$;

в) $$y = tg(x - \frac{\pi}{6})+1$$

a) $$y = sin(x - \frac{\pi}{6})-1$$

б) $$y = \frac{1}{2}cos2x$$

в) $$y = tg(x - \frac{\pi}{6})+1$$

5. При каком значении параметра а неравенство $$а + x^2 ≤ |cosx|$$ имеет единственное решение?

Найдите это решение.

Решение:

Неравенство $$а + x^2 ≤ |cosx|$$ имеет единственное решение при $$a = 1$$.

В этом случае единственным решением является $$x = 0$$.

Ответ: $$a = 1$$, $$x = 0$$