8. a) lim x²-2x-3 / x²-9 ; 6) lim √2x+1-3 / √x-2 9. a) lim x²-x-2 / x³ +1 ; 6) lim(√x²+1-x); 410. a) lim 2x²+5x-3 / x²+4x+3; 6) lim √2x+1-1 / 3√x+4-2'

Привет! Давай вычислим пределы. Это не так сложно, как кажется! 8. a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 9}\) Сначала разложим числитель и знаменатель: \[\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)}\] Сократим \((x - 3)\): \[\lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3}\] Теперь подставим \(x = 3\): \[\frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] Ответ: \(\frac{2}{3}\) 6) \(\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения: \[\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{2x + 1} - 3)(\sqrt{2x + 1} + 3)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{2x + 1} + 3)}\] \[\lim_{x \to 4} \frac{(2x + 1 - 9)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + 3)}\] \[\lim_{x \to 4} \frac{2(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{2x + 1} + 3)}\] Сократим \((x - 4)\): \[\lim_{x \to 4} \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{2x + 1} + 3}\] Подставим \(x = 4\): \[\frac{2(\sqrt{4} + 2)}{\sqrt{2 \cdot 4 + 1} + 3} = \frac{2(2 + 2)}{\sqrt{9} + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] Ответ: \(\frac{4}{3}\) 9. a) \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}\) Разложим числитель и знаменатель: \[\lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}\] Сократим \((x + 1)\): \[\lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x^2 - x + 1}\] Подставим \(x = -1\): \[\frac{-1 - 2}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{-3}{1 + 1 + 1} = \frac{-3}{3} = -1\] Ответ: \(-1\) 6) \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)\) Умножим и разделим на сопряженное выражение: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\] \[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\] \[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\] Разделим числитель и знаменатель на \(x\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1}\] При \(x \to \infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\): \[\frac{0}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{0}{2} = 0\] Ответ: \(0\) 10. a) \(\lim_{x \to -3} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4x + 3}\) Разложим числитель и знаменатель: \[\lim_{x \to -3} \frac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 3)(x + 1)}\] Сократим \((x + 3)\): \[\lim_{x \to -3} \frac{2x - 1}{x + 1}\] Подставим \(x = -3\): \[\frac{2(-3) - 1}{-3 + 1} = \frac{-6 - 1}{-2} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}\] Ответ: \(\frac{7}{2}\) 6) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{3\sqrt{x + 4} - 2}\) Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения: \[\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2x + 1} - 1)(\sqrt{2x + 1} + 1)(3\sqrt{x + 4} + 2)}{(3\sqrt{x + 4} - 2)(3\sqrt{x + 4} + 2)(\sqrt{2x + 1} + 1)}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{(2x + 1 - 1)(3\sqrt{x + 4} + 2)}{(9(x + 4) - 4)(\sqrt{2x + 1} + 1)}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{2x(3\sqrt{x + 4} + 2)}{(9x + 36 - 4)(\sqrt{2x + 1} + 1)}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{2x(3\sqrt{x + 4} + 2)}{(9x + 32)(\sqrt{2x + 1} + 1)}\] Подставим \(x = 0\): \[\frac{2 \cdot 0 (3\sqrt{0 + 4} + 2)}{(9 \cdot 0 + 32)(\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + 1)} = \frac{0}{32 \cdot 2} = 0\] Ответ: \(0\)

Ответ: 2/3, 4/3, -1, 0, 7/2, 0

Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и математика обязательно тебе покорится! У тебя все получится!