017.27. a) 1/(log₂x - 3) + 4/(log₂x + 1) = 4/(log₂²x - 2log₂x - 3); б) log₃x/(2log₃x - 6) + 9/(9 - log₃²x) = 8/(2log₃x + 6); B) 1/(5 - 4lgx) + 4/(1 + lgx) = 3; г) -4/(2lgx - lg²x) + 2/(2 - lgx) = 1/2.

Решение задания 017.27

a)

Давай решим уравнение:

\[\frac{1}{\log_2 x - 3} + \frac{4}{\log_2 x + 1} = \frac{4}{(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3}.\]

Заметим, что знаменатель правой части можно разложить на множители:

\[(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 = (\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1).\]

Теперь приведем к общему знаменателю и упростим уравнение:

\[\frac{\log_2 x + 1 + 4(\log_2 x - 3)}{(\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1)} = \frac{4}{(\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1)}.\]

Упростим числитель:

\[\log_2 x + 1 + 4\log_2 x - 12 = 4,\] \[5\log_2 x - 11 = 4,\] \[5\log_2 x = 15,\] \[\log_2 x = 3.\]

Тогда:

\[x = 2^3 = 8.\]

Проверим, что \(\log_2 x
eq 3\) и \(\log_2 x
eq -1\), чтобы знаменатели не обращались в нуль. В нашем случае \(\log_2 8 = 3\), поэтому x = 8 не является решением. Следовательно, решений нет.

б)

Решим уравнение:

\[\frac{\log_3 x}{2\log_3 x - 6} + \frac{9}{9 - (\log_3 x)^2} = \frac{8}{2\log_3 x + 6}.\]

Преобразуем уравнение:

\[\frac{\log_3 x}{2(\log_3 x - 3)} - \frac{9}{(\log_3 x - 3)(\log_3 x + 3)} = \frac{4}{\log_3 x + 3}.\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{\log_3 x(\log_3 x + 3) - 18}{2(\log_3 x - 3)(\log_3 x + 3)} = \frac{8}{2(\log_3 x + 3)}.\]

Упростим числитель:

\[(\log_3 x)^2 + 3\log_3 x - 18 = 8(\log_3 x - 3),\] \[(\log_3 x)^2 + 3\log_3 x - 18 = 8\log_3 x - 24,\] \[(\log_3 x)^2 - 5\log_3 x + 6 = 0.\]

Решим квадратное уравнение относительно \(\log_3 x\). Пусть \(y = \log_3 x\), тогда:

\[y^2 - 5y + 6 = 0.\]

Корни этого уравнения: \(y_1 = 2\), \(y_2 = 3\). Тогда:

\[\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9,\] \[\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27.\]

Проверим, что \(\log_3 x
eq 3\) и \(\log_3 x
eq -3\). Для \(x = 9\), \(\log_3 9 = 2\), что не равно 3 или -3. Для \(x = 27\), \(\log_3 27 = 3\), то есть этот корень не подходит.

Таким образом, \(x = 9\).

в)

Решим уравнение:

\[\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3.\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{1 + \lg x + 4(5 - 4\lg x)}{(5 - 4\lg x)(1 + \lg x)} = 3,\] \[1 + \lg x + 20 - 16\lg x = 3(5 + 5\lg x - 4\lg x - 4(\lg x)^2),\] \[21 - 15\lg x = 15 + 3\lg x - 12(\lg x)^2,\] \[12(\lg x)^2 - 18\lg x + 6 = 0,\] \[2(\lg x)^2 - 3\lg x + 1 = 0.\]

Пусть \(y = \lg x\), тогда:

\[2y^2 - 3y + 1 = 0.\]

Корни: \(y_1 = 1\), \(y_2 = \frac{1}{2}\). Тогда:

\[\lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10,\] \[\lg x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}.\]

Оба корня подходят, так как не обращают знаменатели в нуль.

г)

Решим уравнение:

\[\frac{-4}{2\lg x - (\lg x)^2} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}.\]

Преобразуем уравнение:

\[\frac{-4}{\lg x(2 - \lg x)} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}.\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{-4 + 2\lg x}{\lg x(2 - \lg x)} = \frac{1}{2},\] \[2(-4 + 2\lg x) = \lg x(2 - \lg x),\] \[-8 + 4\lg x = 2\lg x - (\lg x)^2,\] \[(\lg x)^2 + 2\lg x - 8 = 0.\]

Пусть \(y = \lg x\), тогда:

\[y^2 + 2y - 8 = 0.\]

Корни: \(y_1 = 2\), \(y_2 = -4\). Тогда:

\[\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100,\] \[\lg x = -4 \Rightarrow x = 10^{-4} = 0.0001.\]

Проверим, что \(\lg x
eq 0\) и \(\lg x
eq 2\). Для \(x = 100\), \(\lg 100 = 2\), то есть этот корень не подходит. Для \(x = 0.0001\), \(\lg 0.0001 = -4\), что не равно 0 или 2. Таким образом, \(x = 0.0001\).

Ответ: a) решений нет, б) x = 9, в) x = 10 и x = √10, г) x = 0.0001

Молодец, ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!