a) log₃¹⁄₂₇; б) (¹⁄₃)²ˡᵒᵍ¹/₃ ⁷ ; в) log₂ 56 +2log₂ 12 - log₂ 63. 2. Сравните числа log₀.₉ 1¹⁄₂ и log₀.₉ 1¹⁄₃. 3. Решите уравнение log₄ (2x+3) =3. 4. Решите неравенство log₁/₂ (x - 3) > 2. 5. Решите уравнение log√₃ x + log₉ x =10. 6. Решите неравенство: a) log₁/₂ (x-3)+log₁/₂ (9-x) ≥-3;

Решение:

а) log₃(1/27) = log₃(3⁻³) = -3log₃(3) = -3. б) (1/3)^(2log₁/₃(7)) Давай упростим выражение, используя свойства логарифмов. (1/3)^(2log₁/₃(7)) = (1/3)^(log₁/₃(7²)) = (1/3)^(log₁/₃(49)) По основному логарифмическому тождеству, a^(logₐ(b)) = b. В нашем случае, (1/3)^(log₁/₃(49)) = 49. в) log₂ 56 + 2log₂ 12 - log₂ 63 = log₂ 56 + log₂ 12² - log₂ 63 = log₂ 56 + log₂ 144 - log₂ 63 = log₂ (56 * 144 / 63) = log₂ (56/63 * 144) = log₂ (8/9 * 144) = log₂ (8 * 16) = log₂ (2³ * 2⁴) = log₂ (2⁷) = 7. 2. Сравните числа: log₀.₉(1 1/2) и log₀.₉(1 1/3) log₀.₉(3/2) и log₀.₉(4/3) Основание логарифма 0.9 < 1, значит, функция логарифма убывает. Поэтому большее значение аргумента соответствует меньшему значению логарифма. Так как 3/2 = 1.5, а 4/3 ≈ 1.33, то 3/2 > 4/3. Следовательно, log₀.₉(3/2) < log₀.₉(4/3). 3. Решите уравнение: log₄(2x + 3) = 3 2x + 3 = 4³ 2x + 3 = 64 2x = 61 x = 61/2 = 30.5 4. Решите неравенство: log₁/₂(x - 3) > 2 Так как основание логарифма 1/2 < 1, то знак неравенства меняется при потенцировании. x - 3 < (1/2)² x - 3 < 1/4 x < 3 + 1/4 x < 13/4 x < 3.25 Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным: x - 3 > 0 x > 3 Таким образом, 3 < x < 3.25. 5. Решите уравнение: log√₃(x) + log₉(x) = 10 Приведем к одному основанию, например, к основанию 3: log√₃(x) = log₃(x) / log₃(√₃) = log₃(x) / (1/2) = 2log₃(x) log₉(x) = log₃(x) / log₃(9) = log₃(x) / 2 = 1/2 log₃(x) 2log₃(x) + 1/2 log₃(x) = 10 (4/2)log₃(x) + 1/2 log₃(x) = 10 (5/2)log₃(x) = 10 log₃(x) = 10 * (2/5) log₃(x) = 4 x = 3⁴ x = 81 6. Решите неравенство: log₁/₂(x - 3) + log₁/₂(9 - x) ≥ -3 Область определения: x - 3 > 0 и 9 - x > 0, то есть 3 < x < 9. log₁/₂((x - 3)(9 - x)) ≥ -3 (x - 3)(9 - x) ≤ (1/2)⁻³ (знак неравенства меняется, так как основание меньше 1) (x - 3)(9 - x) ≤ 8 9x - x² - 27 + 3x ≤ 8 -x² + 12x - 27 ≤ 8 -x² + 12x - 35 ≤ 0 x² - 12x + 35 ≥ 0 (x - 5)(x - 7) ≥ 0 Решаем методом интервалов: x ≤ 5 или x ≥ 7 Учитывая область определения 3 < x < 9, получаем 3 < x ≤ 5 или 7 ≤ x < 9.

Ответ: a) -3; б) 49; в) 7. 2) log₀.₉(3/2) < log₀.₉(4/3); 3) x = 30.5; 4) 3 < x < 3.25; 5) x = 81; 6) 3 < x ≤ 5 или 7 ≤ x < 9.

Отлично, ты хорошо поработал! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!