5.391 a) Моторная лодка против течения реки шла 48 мин со скоростью 220 м/мин, а на обратный путь она затратила 33 мин. Найдите собственную скорость мо- торной лодки, если она постоянна. б) Речной трамвай от одной пристани до другой идёт по течению реки 36 мин со скоростью 420 м/мин, а на обратный путь он затрачивает 45 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость речного трамвая постоянна.

а) Обозначим собственную скорость лодки за $$v$$, а скорость течения реки за $$u$$. Тогда скорость лодки против течения равна $$(v-u)$$, а по течению $$(v+u)$$. Расстояние, которое проплыла лодка в обоих случаях, одинаковое. Составим уравнение, учитывая, что время дано в минутах:

$$48(220) = 33(v+u)$$.

Из условия известно, что $$v-u = 220$$. Подставим это в уравнение:

$$48 \cdot 220 = 33(v+u)$$.

Разделим обе части на 33:

$$\frac{48 \cdot 220}{33} = v+u$$

$$\frac{16 \cdot 220}{11} = v+u$$

$$16 \cdot 20 = v+u$$

$$320 = v+u$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} v - u = 220 \\ v + u = 320 \end{cases}$$

Сложим оба уравнения:

$$2v = 540$$

$$v = 270 \text{ м/мин}$$

б) Обозначим собственную скорость трамвая за $$v$$, а скорость течения реки за $$u$$. Тогда скорость трамвая по течению равна $$(v+u)$$, а против течения $$(v-u)$$. Расстояние, которое проплыл трамвай в обоих случаях, одинаковое. Составим уравнение, учитывая, что время дано в минутах:

$$36(420) = 45(v-u)$$

Из условия известно, что $$v+u = 420$$. Подставим это в уравнение:

$$36 \cdot 420 = 45(v-u)$$

Разделим обе части на 45:

$$\frac{36 \cdot 420}{45} = v-u$$

$$\frac{4 \cdot 420}{5} = v-u$$

$$4 \cdot 84 = v-u$$

$$336 = v-u$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} v + u = 420 \\ v - u = 336 \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$2u = 84$$

$$u = 42 \text{ м/мин}$$

Ответ: а) 270 м/мин; б) 42 м/мин