А1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО: OC = BO: OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см. А2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и КМN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, МN = 15 см, NК = 20 см. В1. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных высот.

Решение задания А1

а) Докажем, что AO : OC = BO : OD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. Так как AB || CD, то углы OAB и OCD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Аналогично, углы OBA и ODC равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

Таким образом, треугольники AOB и COD подобны по двум углам (угол OAB = углу OCD и угол OBA = углу ODC).

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: AO/OC = BO/OD.

Что и требовалось доказать.

б) Найдем AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.

Так как треугольники AOB и COD подобны, то AO/OC = BO/OD = AB/CD. Из условия дано, что OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см. Подставим известные значения в пропорцию BO/OD = AB/CD:

9/15 = AB/25

AB = (9 * 25) / 15

AB = (9 * 5) / 3

AB = 3 * 5

AB = 15 см

Ответ: AB = 15 см

Решение задания А2

Найдем отношение площадей треугольников ABC и KMN, если AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 16 см, KM = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см.

Сначала найдем отношение сторон треугольников:

AB/KM = 8/10 = 4/5

BC/MN = 12/15 = 4/5

AC/NK = 16/20 = 4/5

Так как отношение всех трех сторон треугольников ABC и KMN равно 4/5, то треугольники ABC и KMN подобны с коэффициентом подобия k = 4/5.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_ABC / S_KMN = k² = (4/5)² = 16/25

Ответ: S_ABC / S_KMN = 16/25

Решение задания B1

Докажем, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных высот.

Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁ (ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁).

Обозначим высоты, проведенные к сторонам BC и B₁C₁, как h и h₁ соответственно.

По определению подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ = k, где k - коэффициент подобия.

Площадь треугольника ABC можно выразить как S = (1/2) * BC * h, а площадь треугольника A₁B₁C₁ как S₁ = (1/2) * B₁C₁ * h₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S/S₁ = k².

Выразим отношение площадей через высоты и стороны: S/S₁ = [(1/2) * BC * h] / [(1/2) * B₁C₁ * h₁] = (BC * h) / (B₁C₁ * h₁).

Так как BC/B₁C₁ = k, то S/S₁ = k * (h/h₁).

Мы знаем, что S/S₁ = k², следовательно, k² = k * (h/h₁).

Разделим обе части уравнения на k (k ≠ 0, так как треугольники подобны):

k = h/h₁.

Таким образом, h/h₁ = k = BC/B₁C₁.

Следовательно, отношение сходственных сторон равно отношению сходственных высот.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение сходственных сторон равно отношению сходственных высот.

Молодец! Ты отлично справился с задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!