279. а) На рисунке изображён график функции у = f(x), одна из первообразных которой равна 2x3 F(x) 3 - 2x² + 6х. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Давай решим эту задачу по шагам. Нам нужно найти площадь закрашенной фигуры, используя данную первообразную функции \[F(x) = -\frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 6x\]. Площадь фигуры можно найти, вычислив разность значений первообразной в точках 1 и -3. 1. Вычислим значение первообразной в точке 1: \[F(1) = -\frac{2(1)^3}{3} - 2(1)^2 + 6(1) = -\frac{2}{3} - 2 + 6 = -\frac{2}{3} + 4 = \frac{-2 + 12}{3} = \frac{10}{3}\] 2. Вычислим значение первообразной в точке -3: \[F(-3) = -\frac{2(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 + 6(-3) = -\frac{2(-27)}{3} - 2(9) - 18 = \frac{54}{3} - 18 - 18 = 18 - 18 - 18 = -18\] 3. Теперь найдем разность значений первообразной: \[S = F(1) - F(-3) = \frac{10}{3} - (-18) = \frac{10}{3} + 18 = \frac{10 + 54}{3} = \frac{64}{3}\] Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна \(\frac{64}{3}\).

Ответ: \(\frac{64}{3}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!