Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаА1. На рисунке MN || АС. а) Докажите, что АВ-BN=CB-BM. б) Найдите М№, если АМ = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см. А2. Даны стороны треугольников РКМ и АВС: РК = 16 см, КМ = 20 см, РМ = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников. В1. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис.
Ответ:
A1.
б) Найти MN: Известно, что AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см. Тогда AB = AM + MB = 6 + 8 = 14 см.
Треугольники MBN и ABC подобны, следовательно, \(\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}\). Подставляем известные значения: \[\frac{MN}{21} = \frac{8}{14}\]
Решаем уравнение для MN: \[MN = \frac{8 \cdot 21}{14} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 4 \cdot 3 = 12\]
Значит, MN = 12 см.
A2.
Рассмотрим отношения сторон треугольников: \[\frac{PK}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] \[\frac{KM}{BC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}\] \[\frac{PM}{AC} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}\]
Так как отношения всех трех сторон равны, то треугольники PКM и ABC подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = \(\frac{4}{3}\), поэтому отношение площадей: \[\frac{S_{PKM}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\]
Ответ: Отношение площадей треугольников PКM и ABC равно \(\frac{16}{9}\).
B1.
Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. Пусть AD и A₁D₁ - биссектрисы углов A и A₁ соответственно. Так как треугольники подобны, то ∠A = ∠A₁.
Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. У них ∠BAD = \(\frac{1}{2}\) ∠A = \(\frac{1}{2}\) ∠A₁ = ∠B₁A₁D₁ и ∠B = ∠B₁ (так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны).
Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ подобны по двум углам. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{AD}{A_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1}\]
Таким образом, отношение биссектрис равно отношению сходственных сторон, что и требовалось доказать.
