а) наименьшее значение функции, заданной формулой y = 2x² - 8x + a, равно 1; б) наименьшее значение функции, заданной формулой y = 2x(x+8) - 2a, равно 31;

Решение:

а) Для функции \( y = 2x^2 - 8x + a \) наименьшее значение достигается в вершине параболы. Координата x вершины находится по формуле \( x_v = \frac{-b}{2a} \). В данном случае \( a=2 \) и \( b=-8 \), поэтому \( x_v = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \).

Значение функции в вершине равно \( y(2) = 2(2)^2 - 8(2) + a = 2(4) - 16 + a = 8 - 16 + a = -8 + a \).

По условию, наименьшее значение равно 1. Следовательно, \( -8 + a = 1 \), откуда \( a = 9 \).

б) Для функции \( y = 2x(x+8) - 2a \) раскроем скобки: \( y = 2x^2 + 16x - 2a \). Это также парабола ветвями вверх.

Координата x вершины: \( x_v = \frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 \).

Значение функции в вершине: \( y(-4) = 2(-4)^2 + 16(-4) - 2a = 2(16) - 64 - 2a = 32 - 64 - 2a = -32 - 2a \).

По условию, наименьшее значение равно 31. Следовательно, \( -32 - 2a = 31 \), откуда \( -2a = 63 \), и \( a = -31.5 \).

Ответ: а) a = 9; б) a = -31.5.