A1. Найдите площадь поверхности и объем правильной прямой призмы ABCA,B,C₁, если СС₁ =6 см, АВ=2 см. А2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 7 см, 12 см, и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда. АЗ. Площадь основания цилиндра равна 100л см², а площадь осевого сечения равна 30 см². Найдите площадь поверхности и объем цилиндра. А4. Объем шара равен 144л. Найдите площадь его поверхности. А5. Основание четырехугольной пирамиды - прямоугольник с диагональю 5 см и шириной 3 см. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды, по равна 7 см.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии.

A1. Правильная прямая призма ABCA₁B₁C₁

Основание – правильный треугольник (все стороны равны). Нужно найти площадь поверхности и объем призмы, если CC₁ = 6 см, AB = 2 см.

1. Площадь основания (Sосн):

Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: \[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

где a – сторона треугольника. В нашем случае a = 2 см.

Тогда: \[S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]

2. Площадь боковой поверхности (Sбок):

Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников. Площадь одного прямоугольника равна произведению стороны основания на высоту призмы: \[S_{прям} = a \cdot h\]

где a = 2 см, h = 6 см.

Тогда: \[S_{прям} = 2 \cdot 6 = 12\]

Так как прямоугольников три: \[S_{бок} = 3 \cdot 12 = 36\]

3. Площадь полной поверхности (Sполн):

Сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \[S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}\]

Тогда: \[S_{полн} = 36 + 2 \sqrt{3}\]

4. Объем призмы (V):

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h\]

Тогда: \[V = \sqrt{3} \cdot 6 = 6 \sqrt{3}\]

Ответ: Площадь полной поверхности: \[36 + 2 \sqrt{3}\] см². Объем: \[6 \sqrt{3}\] см³.

A2. Прямоугольный параллелепипед и куб

Измерения параллелепипеда: 7 см, 12 см, 18 см. Нужно найти ребро куба, объем которого равен объему параллелепипеда.

1. Объем параллелепипеда (Vпар):

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: \[V_{пар} = a \cdot b \cdot c\]

где a = 7 см, b = 12 см, c = 18 см.

Тогда: \[V_{пар} = 7 \cdot 12 \cdot 18 = 1512\]

2. Ребро куба (a):

Объем куба равен кубу его ребра: \[V_{куб} = a^3\]

Так как объем куба равен объему параллелепипеда: \[a^3 = 1512\]

Извлекаем кубический корень: \[a = \sqrt[3]{1512} \approx 11.48\]

Ответ: Ребро куба: \(\sqrt[3]{1512}\) ≈ 11.48 см.

A3. Цилиндр

Площадь основания цилиндра: 100π см². Площадь осевого сечения: 30 см². Нужно найти площадь поверхности и объем цилиндра.

1. Радиус основания (r):

Площадь основания цилиндра: \[S_{осн} = \pi r^2\]

Тогда: \[100 \pi = \pi r^2\]

Делим обе части на π: \[r^2 = 100\]

Извлекаем квадратный корень: \[r = 10\]

2. Высота цилиндра (h):

Площадь осевого сечения (прямоугольника): \[S_{сеч} = 2r \cdot h\]

Тогда: \[30 = 2 \cdot 10 \cdot h\]

\[30 = 20h\]

\[h = \frac{30}{20} = 1.5\]

3. Площадь боковой поверхности (Sбок):

Площадь боковой поверхности цилиндра: \[S_{бок} = 2 \pi r h\]

Тогда: \[S_{бок} = 2 \pi \cdot 10 \cdot 1.5 = 30 \pi\]

4. Площадь полной поверхности (Sполн):

Сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \[S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}\]

Тогда: \[S_{полн} = 30 \pi + 2 \cdot 100 \pi = 230 \pi\]

5. Объем цилиндра (V):

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: \[V = S_{осн} \cdot h\]

Тогда: \[V = 100 \pi \cdot 1.5 = 150 \pi\]

Ответ: Площадь полной поверхности: \[230 \pi\] см². Объем: \[150 \pi\] см³.

A4. Шар

Объем шара: 144π. Нужно найти площадь его поверхности.

1. Радиус шара (r):

Объем шара: \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Тогда: \[144 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Делим обе части на π: \[144 = \frac{4}{3} r^3\]

Умножаем обе части на 3/4: \[r^3 = 144 \cdot \frac{3}{4} = 36 \cdot 3 = 108\]

Извлекаем кубический корень: \[r = \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = 3 \sqrt[3]{4}\]

2. Площадь поверхности шара (S):

Площадь поверхности шара: \[S = 4 \pi r^2\]

Тогда: \[S = 4 \pi (3 \sqrt[3]{4})^2 = 4 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt[3]{16} = 36 \pi \sqrt[3]{16}\]

Упрощаем: \[S = 36 \pi \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 36 \pi \cdot 2 \sqrt[3]{2} = 72 \pi \sqrt[3]{2}\]

Ответ: Площадь поверхности: \[72 \pi \sqrt[3]{2}\] см².

A5. Четырехугольная пирамида

Основание: прямоугольник с диагональю 5 см и шириной 3 см. Высота: 7 см. Нужно найти площадь поверхности и объем пирамиды.

1. Длина прямоугольника (l):

По теореме Пифагора: \[l^2 + w^2 = d^2\]

где w = 3 см, d = 5 см.

Тогда: \[l^2 + 3^2 = 5^2\]

\[l^2 + 9 = 25\]

\[l^2 = 16\]

\[l = 4\]

2. Площадь основания (Sосн):

Площадь прямоугольника: \[S_{осн} = l \cdot w\]

Тогда: \[S_{осн} = 4 \cdot 3 = 12\]

3. Объем пирамиды (V):

Объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\]

где h = 7 см.

Тогда: \[V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28\]

4. Боковые грани:

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти апофемы каждой грани. Это требует дополнительной информации о том, как высота падает на основание.

Предположим, что высота падает в центр прямоугольника. Тогда апофемы можно найти по теореме Пифагора.

Апофема к стороне 3 см (a1): \[a_1 = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}\]

Апофема к стороне 4 см (a2): \[a_2 = \sqrt{7^2 + 1.5^2} = \sqrt{49 + 2.25} = \sqrt{51.25}\]

5. Площадь боковой поверхности (Sбок):

\[S_{бок} = \frac{1}{2} (3 \sqrt{53} + 4 \sqrt{51.25} + 3 \sqrt{53} + 4 \sqrt{51.25}) = 3 \sqrt{53} + 4 \sqrt{51.25}\]

6. Площадь полной поверхности (Sполн):

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 12 + 3 \sqrt{53} + 4 \sqrt{51.25}\]

Ответ: Объем: 28 см³. Площадь полной поверхности: \[12 + 3 \sqrt{53} + 4 \sqrt{51.25}\] см².