А5. Найдите произведение корней (или корень, если единственный) уравнения \(\frac{3x^2-5x-2}{2-x} = 0.\)

Пошаговое решение:

Для начала решим квадратное уравнение, находящееся в числителе:

\[3x^2 - 5x - 2 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\]\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x:

При \(x = 2\):

\[2 - x = 2 - 2 = 0\]

Значит, \(x = 2\) — посторонний корень.

При \(x = -\frac{1}{3}\):

\[2 - x = 2 - (-\frac{1}{3}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\]

Знаменатель не обращается в ноль.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \(x = -\frac{1}{3}\). Следовательно, произведение корней (в данном случае, просто корень) равно \(-\frac{1}{3}\).

Ответ: −1/3