A 1. Найдите производную функции у = ex - In²x. 2. Определите первообразную F(x) для функции f(x)=3x²-2 удовлетворяющую условию F(1) = 8. x 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-, у = 3, x = 5. x 4. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию f(x)= 3xe. 5. Под каким углом график функции f(x)=(2x-1).4* пересекает ось абсцисс?

1. Найдите производную функции y = e^sinx - ln²x.

Логика такая:

• Производная сложной функции: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
• Производная e^u равна e^u * u'
• Производная sinx равна cosx
• Производная ln²x это 2lnx * (1/x)

\[y' = (e^{sinx} - ln^2x)' = e^{sinx} \cdot cosx - 2lnx \cdot \frac{1}{x}\]

Ответ: \[y' = e^{sinx} \cdot cosx - \frac{2lnx}{x}\]

2. Определите первообразную F(x) для функции f(x) = 3x² - 2/x, удовлетворяющую условию F(1) = 8.

Логика такая:

• Первообразная xⁿ равна (xⁿ⁺¹)/(n+1)
• Первообразная 1/x равна ln|x|

\[F(x) = \int (3x^2 - \frac{2}{x}) dx = x^3 - 2ln|x| + C\]

Используем условие F(1) = 8:

\[8 = 1^3 - 2ln|1| + C\]

\[8 = 1 - 0 + C\]

\[C = 7\]

Ответ: \[F(x) = x^3 - 2ln|x| + 7\]

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3/x, y = 3, x = 5.

Логика такая:

• Площадь между кривыми находится как интеграл разности функций.
• Найдем точку пересечения y = 3/x и y = 3.

\[3 = \frac{3}{x} \Rightarrow x = 1\]

Интегрируем от 1 до 5:

\[S = \int_1^5 (3 - \frac{3}{x}) dx = [3x - 3ln|x|]_1^5 = (15 - 3ln5) - (3 - 3ln1) = 12 - 3ln5\]

Ответ: \[S = 12 - 3ln5\]

4. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию f(x) = 3xe^-x.

Логика такая:

• Находим первую производную и приравниваем к нулю.
• Определяем знаки производной на интервалах.

\[f'(x) = (3xe^{-x})' = 3e^{-x} - 3xe^{-x} = 3e^{-x}(1 - x)\]

\[f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\]

При x < 1, f'(x) > 0 (функция возрастает).

При x > 1, f'(x) < 0 (функция убывает).

x = 1 - точка максимума.

Ответ: Функция возрастает при x < 1, убывает при x > 1, x = 1 - точка максимума.

5. Под каким углом график функции f(x) = (2x - 1) * 4^x пересекает ось абсцисс?

Логика такая:

• Находим точку пересечения с осью абсцисс (y = 0).
• Находим производную функции.
• Вычисляем значение производной в точке пересечения.
• Угол наклона касательной равен арктангенсу значения производной.

\[(2x - 1) \cdot 4^x = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\]

\[f'(x) = (2x - 1)' \cdot 4^x + (2x - 1) \cdot (4^x)' = 2 \cdot 4^x + (2x - 1) \cdot 4^x \cdot ln4\]

\[f'(\frac{1}{2}) = 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + (2 \cdot \frac{1}{2} - 1) \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot ln4 = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 \cdot ln4 = 4\]

\[\varphi = arctg(4)\]

Ответ: \[\varphi = arctg(4)\]

Математический Гений

Скилл прокачан до небес. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.