4. a) Найдите размах измерений толщины; б) Найдите дисперсию измерений ширины; в) Следует ли доску, измерения которой даны в таблице, признать бракованной? Обоснуйте свой ответ.

Решение:

а) Размах измерений толщины – это разность между максимальным и минимальным значениями толщины. В таблице представлены следующие измерения толщины: 21 мм, 18 мм, 21 мм, 20 мм. Максимальное значение – 21 мм, минимальное – 18 мм. Следовательно, размах измерений толщины равен:

$$21 - 18 = 3$$

Ответ: Размах измерений толщины равен 3 мм.

б) Дисперсия измерений ширины показывает, насколько сильно разбросаны значения ширины относительно среднего значения. В таблице представлены следующие измерения ширины: 151 мм, 149 мм, 152 мм, 148 мм. Для нахождения дисперсии необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти среднее значение ширины:
$$\overline{x} = \frac{151 + 149 + 152 + 148}{4} = \frac{600}{4} = 150$$
2. Найти отклонения каждого измерения от среднего значения:
• $$151 - 150 = 1$$
• $$149 - 150 = -1$$
• $$152 - 150 = 2$$
• $$148 - 150 = -2$$
3. Возвести каждое отклонение в квадрат:
• $$1^2 = 1$$
• $$(-1)^2 = 1$$
• $$2^2 = 4$$
• $$(-2)^2 = 4$$
4. Найти среднее значение квадратов отклонений (дисперсию):
$$D = \frac{1 + 1 + 4 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$

Ответ: Дисперсия измерений ширины равна 2.5 мм².

в) Согласно требованиям ГОСТ, допустимые отклонения от номинального значения составляют 3 мм по ширине и 1 мм по толщине. Номинальная ширина доски 150 мм, номинальная толщина 20 мм.

Проверим, соответствуют ли измерения ширины и толщины допустимым отклонениям:

• Ширина:
• Максимальное отклонение: $$152 - 150 = 2$$ мм (соответствует)
• Минимальное отклонение: $$148 - 150 = -2$$ мм (соответствует)
• Толщина:
• Максимальное отклонение: $$21 - 20 = 1$$ мм (соответствует)
• Минимальное отклонение: $$18 - 20 = -2$$ мм (не соответствует)

Так как минимальное отклонение толщины (-2 мм) превышает допустимое отклонение (-1 мм), доску следует признать бракованной (третьего сорта).

Ответ: Да, доску следует признать бракованной, так как одно из измерений толщины (18 мм) отклоняется от номинального значения (20 мм) больше, чем на 1 мм.