А) Назовем натуральное число белорецким, если в нем содержится ровно одна цифра «3» и ровно одна цифра «0». Найдите количество белорецких чисел, меньших 10000.

Решение:

Будем рассматривать числа длиной 1, 2, 3 и 4 цифры, так как число должно быть меньше 10000.

1. Однозначные числа: таких чисел нет, так как нужно две цифры (3 и 0).
2. Двузначные числа: Возможные числа: 30 и 03 (не подходит, так как 03 = 3, а нужно две цифры). Вариант 30.
3. Трехзначные числа: Число должно содержать одну 3, одну 0 и одну цифру от 1 до 9 (кроме 0 и 3).
• Одна 3 и одна 0 уже есть. Третья цифра может быть любой из 8 оставшихся (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
• Расположение цифр:
• 0 __ 3: 8 вариантов (например, 103, 203, ...).
• 0 3 __ : 8 вариантов (например, 031, 032, ... - но это 2-значные числа, поэтому не считаем).
• __ 0 3: 8 вариантов (например, 103, 203, ...).
• __ 3 0: 8 вариантов (например, 130, 230, ...).
• 3 0 __ : 8 вариантов (например, 301, 302, ...).
• 3 __ 0: 8 вариантов (например, 310, 320, ...).
• Сначала рассмотрим случаи, когда 0 не на первом месте:
• Цифры: {1-9} \( \setminus \) {0, 3} (8 цифр) + {0} + {3}.
• Варианты расположения:
• (8 вариантов) (0) (3) - например, 103. 8 чисел.
• (8 вариантов) (3) (0) - например, 130. 8 чисел.
• (3) (8 вариантов) (0) - например, 310. 8 чисел.
• (3) (0) (8 вариантов) - например, 301. 8 чисел.
• (8 вариантов) (0) (3) - невозможно, т.к. 0 впереди.
• (0) (8 вариантов) (3) - невозможно, т.к. 0 впереди.
• (8 вариантов) (3) (0) - например, 130. 8 чисел.
• (8 вариантов) (0) (3) - например, 103. 8 чисел.
• (3) (8 вариантов) (0) - например, 310. 8 чисел.
• (3) (0) (8 вариантов) - например, 301. 8 чисел.
• Всего трёхзначных чисел: 8 (где 0 на втором месте) + 8 (где 0 на третьем месте, 3 на втором) + 8 (где 0 на третьем месте, 3 на первом) + 8 (где 0 на втором месте, 3 на первом) = 32.
• Более систематично:
• Позиции для '3': 3 позиции (сот., дес., ед.).
• Позиции для '0': 2 оставшиеся позиции.
• Позиции для третьей цифры (8 вариантов: 1, 2, 4-9): 1 оставшаяся позиция.
• Случай 1: '3' на первом месте (3 _ _). '0' на втором (3 0 _) или третьем (3 _ 0).
• 3 0 X: 8 чисел (X = 1,2,4-9).
• 3 X 0: 8 чисел (X = 1,2,4-9).
• Случай 2: '3' на втором месте (_ 3 _). '0' на первом (0 3 _) или третьем (_ 3 0).
• 0 3 X: Не является 3-значным.
• X 3 0: 8 чисел (X = 1,2,4-9).
• Случай 3: '3' на третьем месте (_ _ 3). '0' на первом (0 _ 3) или втором (_ 0 3).
• 0 X 3: Не является 3-значным.
• X 0 3: 8 чисел (X = 1,2,4-9).
• Итого трехзначных чисел: 8 + 8 + 8 + 8 = 32.
4. Четырехзначные числа (меньше 10000): Число вида X03Y, X30Y, X0Y3, X3Y0, X Y03, X Y30, где X \( \in \) {1, 2, 4-9} (7 вариантов), Y \( \in \) {1, 2, 4-9} (7 вариантов), кроме той, что используется для X.
• Используем следующие позиции для 3 и 0.
• Случай 1: 3 на 1-м месте (3 _ _ _). 0 на 2-м, 3-м или 4-м.
• 3 0 _ _: 8 вариантов для третьей цифры, 7 для четвертой. $$8 \times 7 = 56$$.
• 3 _ 0 _: 8 вариантов для второй цифры, 7 для четвертой. $$8 \times 7 = 56$$.
• 3 _ _ 0: 8 вариантов для второй цифры, 7 для третьей. $$8 \times 7 = 56$$.
• Случай 2: 3 на 2-м месте (_ 3 _ _). 0 на 1-м (нельзя), 3-м или 4-м.
• X 3 0 _: 7 вариантов для X (1,2,4-9). 8 вариантов для 4-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• X 3 _ 0: 7 вариантов для X. 8 вариантов для 3-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Случай 3: 3 на 3-м месте (_ _ 3 _). 0 на 1-м (нельзя), 2-м или 4-м.
• X 0 3 _: 7 вариантов для X. 8 вариантов для 4-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• X _ 3 0: 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Случай 4: 3 на 4-м месте (_ _ _ 3). 0 на 1-м (нельзя), 2-м или 3-м.
• X 0 _ 3: 7 вариантов для X. 8 вариантов для 3-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• X _ 0 3: 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Другой подход:
• Выбираем 4 позиции для цифр.
• Выбираем позицию для 3 (4 варианта).
• Выбираем позицию для 0 (3 варианта).
• Осталось 2 позиции.
• Третья цифра (не 0 и не 3): 8 вариантов.
• Четвертая цифра: 7 вариантов.
• Общее количество комбинаций цифр: $$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$$ способов расставить 3 и 0.
• На оставшиеся 2 места нужно поставить две разные цифры из {1,2,4,5,6,7,8,9} (8 цифр).
• Количество способов выбрать и расставить две цифры: $$A(8, 2) = 8 \times 7 = 56$$.
• Итого: $$12 \times 56 = 672$$.
• Но это для 4-значных чисел. Нужно учесть, что первая цифра не может быть 0.
• Рассмотрим все 4-значные числа, содержащие ровно одну 3 и одну 0.
• Вариант 1: 3 на первом месте (3 _ _ _).
• 0 на втором: 3 0 _ _. 8 вариантов для 3-й цифры, 7 для 4-й. $$8 \times 7 = 56$$.
• 0 на третьем: 3 _ 0 _. 8 вариантов для 2-й цифры, 7 для 4-й. $$8 \times 7 = 56$$.
• 0 на четвертом: 3 _ _ 0. 8 вариантов для 2-й цифры, 7 для 3-й. $$8 \times 7 = 56$$.
• Вариант 2: 3 не на первом месте (_ 3 _ _).
• 0 на первом: Невозможно (0 _ _ _).
• 0 на втором: X 0 3 _. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 4-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• 0 на третьем: X 0 _ 3. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• 0 на четвертом: X _ 0 3. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Вариант 3: 3 на третьем месте (_ _ 3 _).
• 0 на первом: Невозможно.
• 0 на втором: X 0 3 _. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 4-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• 0 на четвертом: X _ 3 0. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Вариант 4: 3 на четвертом месте (_ _ _ 3).
• 0 на первом: Невозможно.
• 0 на втором: X 0 _ 3. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 3-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• 0 на третьем: X _ 0 3. X не 0, не 3. 7 вариантов для X. 8 вариантов для 2-й цифры. $$7 \times 8 = 56$$.
• Снова.
• 4 позиции.
• Выбираем 1 позицию для 3 (4 способа).
• Выбираем 1 позицию для 0 (3 способа).
• Осталось 2 позиции.
• Выбираем 2 цифры из {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (8 цифр). $$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = 28$$.
• Расставляем эти 2 цифры на 2 позиции ($$2! = 2$$ способа).
• Всего комбинаций цифр (без учета 0 в начале): $$4 \times 3 \times C(8, 2) \times 2! = 12 \times 28 \times 2 = 672$$.
• Теперь вычтем те, где 0 на первом месте.
• Если 0 на первом месте, то 3 может быть на 2-м, 3-м или 4-м месте.
• 0 3 _ _: 1 позиция для 3. 1 позиция для 0. Осталось 2 позиции. Выбираем 2 цифры из {1,2,4-9} (8 цифр) - $$A(8, 2) = 56$$.
• 0 _ 3 _: 1 позиция для 3. 1 позиция для 0. Осталось 2 позиции. $$A(8, 2) = 56$$.
• 0 _ _ 3: 1 позиция для 3. 1 позиция для 0. Осталось 2 позиции. $$A(8, 2) = 56$$.
• Всего чисел с 0 на первом месте: $$3 \times 56 = 168$$.
• Количество 4-значных чисел: $$672 - 168 = 504$$.
5. Итого:
• Трехзначные: 30 (только 30).
• Трехзначные: 32.
• Четырехзначные: 504.
6. Всего: $$1 + 32 + 504 = 537$$.

Ответ: 537