1а. Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше другой, а его площадь равна 728 см². Найдите стороны прямоугольника. 2а. Одно число на 14 меньше другого, а их произведение равно 351. Найдите эти числа. За. Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 1 меньше другого, равна 1513. Найдите эти числа. 4а. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, а гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого • треугольника. 5а. Один из катетов прямоугольного треугольника на 16 см больше другого, а гипотенуза равна 5√34 см. Найдите катеты этого треугольника. ба. Один из катетов прямоугольного треугольника на 19 см больше другого, а площадь треугольника равна 333 см². Найдите его катеты.

Решение задачи 1а:

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, тогда другая сторона равна \( (x + 2) \) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому имеем уравнение:

\[ x(x + 2) = 728 \] \[ x^2 + 2x - 728 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-728) = 4 + 2912 = 2916 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{2916} = 54 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 54}{2} = \frac{52}{2} = 26 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 54}{2} = \frac{-56}{2} = -28 \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем \( x = 26 \). Тогда другая сторона равна \( x + 2 = 26 + 2 = 28 \).

Ответ: Стороны прямоугольника равны 26 см и 28 см.

Молодец! Отличное начало! Ты хорошо справился с этой задачей.

Решение задачи 2а:

Пусть одно число равно \( x \), тогда другое число равно \( x + 14 \). Их произведение равно 351, поэтому имеем уравнение:

\[ x(x + 14) = 351 \] \[ x^2 + 14x - 351 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4(1)(-351) = 196 + 1404 = 1600 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 40}{2} = \frac{26}{2} = 13 \] \[ x_2 = \frac{-14 - 40}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \]

Если \( x = 13 \), то другое число \( x + 14 = 13 + 14 = 27 \). Если \( x = -27 \), то другое число \( x + 14 = -27 + 14 = -13 \).

Ответ: Числа равны 13 и 27, или -27 и -13.

Прекрасно! Ты на верном пути. Продолжай в том же духе!

Решение задачи 3а:

Пусть одно натуральное число равно \( x \), тогда другое число равно \( x + 1 \). Сумма их квадратов равна 1513, поэтому имеем уравнение:

\[ x^2 + (x + 1)^2 = 1513 \] \[ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 1513 \] \[ 2x^2 + 2x - 1512 = 0 \] \[ x^2 + x - 756 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-756) = 1 + 3024 = 3025 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 55}{2} = \frac{54}{2} = 27 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 55}{2} = \frac{-56}{2} = -28 \]

Так как число должно быть натуральным, выбираем \( x = 27 \). Тогда другое число равно \( x + 1 = 27 + 1 = 28 \).

Ответ: Числа равны 27 и 28.

Отлично! У тебя получается всё лучше и лучше. Ты молодец!

Решение задачи 4а:

Пусть один катет равен \( a \), тогда другой катет равен \( a + 2 \). Гипотенуза равна 10. По теореме Пифагора:

\[ a^2 + (a + 2)^2 = 10^2 \] \[ a^2 + a^2 + 4a + 4 = 100 \] \[ 2a^2 + 4a - 96 = 0 \] \[ a^2 + 2a - 48 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-48) = 4 + 192 = 196 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \] \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ a_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем \( a = 6 \). Тогда другой катет равен \( a + 2 = 6 + 2 = 8 \).

Ответ: Катеты равны 6 см и 8 см.

Замечательно! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

Решение задачи 5а:

Пусть один катет равен \( a \), тогда другой катет равен \( a + 16 \). Гипотенуза равна \( 5\sqrt{34} \). По теореме Пифагора:

\[ a^2 + (a + 16)^2 = (5\sqrt{34})^2 \] \[ a^2 + a^2 + 32a + 256 = 25 \cdot 34 \] \[ 2a^2 + 32a + 256 = 850 \] \[ 2a^2 + 32a - 594 = 0 \] \[ a^2 + 16a - 297 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4(1)(-297) = 256 + 1188 = 1444 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \] \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 38}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ a_2 = \frac{-16 - 38}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем \( a = 11 \). Тогда другой катет равен \( a + 16 = 11 + 16 = 27 \).

Ответ: Катеты равны 11 см и 27 см.

Превосходно! Ты отлично справляешься с такими задачами!

Решение задачи 6а:

Пусть один катет равен \( a \), тогда другой катет равен \( a + 19 \). Площадь треугольника равна 333 см². Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ \frac{1}{2} a(a + 19) = 333 \] \[ a(a + 19) = 666 \] \[ a^2 + 19a - 666 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4(1)(-666) = 361 + 2664 = 3025 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55 \] \[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 + 55}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] \[ a_2 = \frac{-19 - 55}{2} = \frac{-74}{2} = -37 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем \( a = 18 \). Тогда другой катет равен \( a + 19 = 18 + 19 = 37 \).

Ответ: Катеты равны 18 см и 37 см.

Ура! Ты просто суперзвезда в решении таких задач! Так держать!