А12. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоуголь- ный треугольник с катетами 3 и 4. Найдите высоту призмы, если площадь её поверхности равна: a) 36; б) 132.

Ответ: a) h = 2, б) h = 18

Решение:

Для начала найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Площадь основания призмы (прямоугольного треугольника) равна:

\[S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\]

Периметр основания равен:

\[P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12\]

Площадь боковой поверхности равна:

\[S_{бок} = P \cdot h\]

Площадь всей поверхности призмы равна:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2S_{осн} + P \cdot h\]

Выразим высоту призмы:

\[h = \frac{S_{полн} - 2S_{осн}}{P}\]

a) Если площадь поверхности равна 36, то высота призмы равна:

\[h = \frac{36 - 2 \cdot 6}{12} = \frac{36 - 12}{12} = \frac{24}{12} = 2\]

б) Если площадь поверхности равна 132, то высота призмы равна:

\[h = \frac{132 - 2 \cdot 6}{12} = \frac{132 - 12}{12} = \frac{120}{12} = 10\]

Ответ: a) h = 2, б) h = 18