659. а) Подберите такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: 3 · a+6 · b = 1998. б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось равенство: 3 · a+6 · b = 1999? в) Можно ли подобрать такие натуральные числа a и b, выполнялось равенство: 18 · a+81 · b = 996?

Решим уравнения относительно натуральных чисел a и b.

1. а) 3 ⋅ a + 6 ⋅ b = 1998

   3 ⋅ a = 1998 - 6 ⋅ b

   a = (1998 - 6 ⋅ b) / 3

   a = 666 - 2 ⋅ b

   Так как a и b - натуральные числа, то a > 0 и b > 0. Найдем максимально возможное значение для b, чтобы a оставалось положительным:

   666 - 2 ⋅ b > 0

   2 ⋅ b < 666

   b < 333

   Для любого натурального b от 1 до 332 a также будет натуральным. Например, если b = 1, то a = 666 - 2 * 1 = 664; если b = 332, то a = 666 - 2 * 332 = 2.

2. б) 3 ⋅ a + 6 ⋅ b = 1999

   3 ⋅ a = 1999 - 6 ⋅ b

   a = (1999 - 6 ⋅ b) / 3

   a = 1999/3 - 2 ⋅ b

   1999 не делится на 3. Следовательно, выражение (1999 - 6 ⋅ b) никогда не будет делиться на 3, так как 6 ⋅ b всегда делится на 3. Значит, a не может быть целым числом, и нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось данное равенство.

3. в) 18 ⋅ a + 81 ⋅ b = 996

   9 ⋅ (2 ⋅ a + 9 ⋅ b) = 996

   2 ⋅ a + 9 ⋅ b = 996 / 9

   2 ⋅ a + 9 ⋅ b = 332 / 3

   Так как 332/3 - не целое число, то равенство невозможно в целых числах. Нельзя подобрать такие натуральные числа a и b, чтобы выполнялось данное равенство.

Ответ: а) a = 666 - 2⋅b, где b любое натуральное число от 1 до 332; б) нельзя; в) нельзя