A point moves uniformly in a circle with speed v. Another point moves uniformly along the same circle with speed v. Find the speed of the first point relative to the second at the moment when the vector of the first point makes an angle of 60° with the direction of motion of the second point.

Решение:

Задача описывает относительное движение двух точек по окружности. Пусть \( \vec{v}_1 \) - скорость первой точки, а \( \vec{v}_2 \) - скорость второй точки. Обе скорости имеют одинаковую величину \( v \) и направлены по касательной к окружности. Мы ищем скорость первой точки относительно второй, то есть \( \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \).

1. Определение векторов скоростей:

Скорость каждой точки направлена по касательной к окружности. Величина каждой скорости равна \( v \).

2. Геометрическое вычитание векторов:

Чтобы найти \( \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \), мы можем использовать правило вычитания векторов. Это эквивалентно сложению \( \vec{v}_1 + (-\vec{v}_2) \). Вектор \( -\vec{v}_2 \) имеет ту же величину \( v \), но противоположен по направлению вектору \( \vec{v}_2 \).

3. Угол между векторами:

В момент времени, когда вектор первой точки составляет угол \( 60^{\circ} \) с направлением движения второй точки, угол между \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) равен \( 60^{\circ} \). Следовательно, угол между \( \vec{v}_1 \) и \( -\vec{v}_2 \) будет \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

4. Нахождение величины относительной скорости:

Для нахождения величины вектора \( \vec{v}_{12} \) можно использовать теорему косинусов:

\[ |\vec{v}_{12}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |-\vec{v}_2|^2 - 2 |\vec{v}_1| |-\vec{v}_2| \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол между \( \vec{v}_1 \) и \( -\vec{v}_2 \), который равен \( 120^{\circ} \).

\[ |\vec{v}_{12}|^2 = v^2 + v^2 - 2 \cdot v \cdot v \cdot \cos(120^{\circ}) \]

\[ |\vec{v}_{12}|^2 = 2v^2 - 2v^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ |\vec{v}_{12}|^2 = 2v^2 + v^2 \]

\[ |\vec{v}_{12}|^2 = 3v^2 \]

\[ |\vec{v}_{12}| = \sqrt{3v^2} = v\sqrt{3} \]

5. Интерпретация:

Скорость первой точки относительно второй в данный момент времени равна \( v\sqrt{3} \).

Ответ: Скорость первой точки относительно второй равна \( v\sqrt{3} \).