249. а) Прямая у = kx + 4 касается гиперболы у = 2/x. Найдите координаты точки касания.

Решение:

Прямая касается гиперболы, значит система имеет одно решение.

• \(y = kx + 4\)
• \(y = \frac{2}{x}\)

Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое:

\[kx + 4 = \frac{2}{x}\]

Умножим обе части уравнения на \(x\) (\(x ≠ 0\)):

\[kx^2 + 4x = 2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[kx^2 + 4x - 2 = 0\]

Так как прямая касается гиперболы, то квадратное уравнение должно иметь один корень. Это значит, что дискриминант должен быть равен нулю:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot k \cdot (-2) = 16 + 8k\]

Приравняем дискриминант к нулю:

\[16 + 8k = 0\]

Решим уравнение относительно \(k\):

\[8k = -16\]

\[k = -2\]

Теперь подставим найденное значение \(k\) в квадратное уравнение:

\[-2x^2 + 4x - 2 = 0\]

Разделим обе части уравнения на \(-2\):

\[x^2 - 2x + 1 = 0\]

Получим полный квадрат:

\[(x - 1)^2 = 0\]

Отсюда находим \(x\):

\[x = 1\]

Теперь найдем \(y\), подставив найденное значение \(x\) в уравнение гиперболы:

\[y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2\]

Ответ: Координаты точки касания: (1; 2)