Ответ:

  1. В течение ближайшего времени будет проводиться олимпиада по русскому языку.
  2. В течение болезни наступил кризис.
  3. В продолжение всего лета он упорно занимался плаванием.
  4. В продолжении повести автор расскажет о дальнейшей судьбе героев.
  5. В заключение дискуссии выступил представитель прессы.
  6. В заключении врачей не было ничего утешительного.
  7. Вследствие неосторожного обращения с огнём начался пожар.
  8. В следствии по делу о хищении были допущены ошибки.
  9. В следствии по делу о пожаре вкралась ошибка.
  10. На протяжении нескольких лет мы бились над этой проблемой.
  11. В отличие от своего героя, автор не принимал участия в этих событиях.
  12. По окончании учебного года все разъехались.

Предлоги в течение, в продолжение, вследствие, в заключение, на протяжении, в отличие, по окончании пишутся в указанных случаях раздельно (слова-предлоги вследствие и в течение — слитно внутри слова). В сочетаниях в течении болезни, в продолжении повести, в заключении врачей употреблены существительные с окончанием -и. В словах проводиться и расскажет написание определяется формой глагола.