A1. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 2x² +14x+24; 6)-x²+8x+9; 6) 3x²+7x-6 2) 25x²-10x+1; д) 7x² +9x+2; e) 2x²-x-1; ж) -5x2+3x-2. В1. Сократите дробь: 2x²-5x-3 x²+x-6

Ответ:

A1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) \(2x^2 + 14x + 24\) Шаг 1: Вынесем общий множитель 2 за скобки: \(2(x^2 + 7x + 12)\) Шаг 2: Разложим квадратный трехчлен в скобках на множители. Найдем корни уравнения \(x^2 + 7x + 12 = 0\). Используем теорему Виета: \(x_1 + x_2 = -7\), \(x_1 \cdot x_2 = 12\). Корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -4\). Шаг 3: Запишем разложение на множители: \(2(x + 3)(x + 4)\).

Ответ: \(2(x + 3)(x + 4)\)

б) \(-x^2 + 8x + 9\) Шаг 1: Вынесем минус за скобки: \(-(x^2 - 8x - 9)\) Шаг 2: Разложим квадратный трехчлен в скобках на множители. Найдем корни уравнения \(x^2 - 8x - 9 = 0\). Используем теорему Виета: \(x_1 + x_2 = 8\), \(x_1 \cdot x_2 = -9\). Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 9\). Шаг 3: Запишем разложение на множители: \(-(x + 1)(x - 9)\).

Ответ: \(-(x + 1)(x - 9)\)

в) \(3x^2 + 7x - 6\) Шаг 1: Найдем дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\). \(\sqrt{D} = 11\). Шаг 2: Найдем корни: \(x_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3\). Шаг 3: Запишем разложение на множители: \(3(x - \frac{2}{3})(x + 3) = (3x - 2)(x + 3)\).

Ответ: \((3x - 2)(x + 3)\)

г) \(25x^2 - 10x + 1\) Шаг 1: Заметим, что это полный квадрат: \((5x - 1)^2\).

Ответ: \((5x - 1)^2\)

д) \(7x^2 + 9x + 2\) Шаг 1: Найдем дискриминант: \(D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\). \(\sqrt{D} = 5\). Шаг 2: Найдем корни: \(x_1 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\), \(x_2 = \frac{-9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1\). Шаг 3: Запишем разложение на множители: \(7(x + \frac{2}{7})(x + 1) = (7x + 2)(x + 1)\).

Ответ: \((7x + 2)(x + 1)\)

е) \(2x^2 - x - 1\) Шаг 1: Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\). \(\sqrt{D} = 3\). Шаг 2: Найдем корни: \(x_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\), \(x_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). Шаг 3: Запишем разложение на множители: \(2(x - 1)(x + \frac{1}{2}) = (x - 1)(2x + 1)\).

Ответ: \((x - 1)(2x + 1)\)

ж) \(-5x^2 + 3x - 2\) Шаг 1: Вынесем минус за скобки: \(-(5x^2 - 3x + 2)\) Шаг 2: Найдем дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31\). Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не может быть разложен на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Разложить нельзя, так как дискриминант отрицательный.

B1. Сократите дробь:

\(\frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 + x - 6}\) Шаг 1: Разложим числитель на множители. Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\). \(\sqrt{D} = 7\). Шаг 2: Найдем корни: \(x_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\), \(x_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). Шаг 3: Запишем разложение числителя на множители: \(2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)\). Шаг 4: Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\). Используем теорему Виета: \(x_1 + x_2 = -1\), \(x_1 \cdot x_2 = -6\). Корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). Шаг 5: Запишем разложение знаменателя на множители: \((x + 3)(x - 2)\). Шаг 6: Сократим дробь: \(\frac{(2x + 1)(x-3)}{(x-2)(x+3)}\)

Ответ: \(\frac{2x+1}{x+2}\)

Ответ: \(\frac{2x+1}{x+2}\)