а) Реши уравнение cos²(x/2) - sin²(x/2) = sin((-3π/2) - 2x).

Шаг 1: Упрощаем левую часть уравнения

Используем формулу косинуса двойного угла: cos²(x/2) - sin²(x/2) = cos(x)

Шаг 2: Упрощаем правую часть уравнения

Используем формулу приведения: sin((-3π/2) - 2x) = sin(-(3π/2 + 2x)) = -sin(3π/2 + 2x) = cos(2x)

Шаг 3: Записываем упрощенное уравнение

cos(x) = cos(2x)

Шаг 4: Решаем уравнение cos(x) = cos(2x)

2x = ±x + 2πk, k ∈ Z

• Случай 1: 2x = x + 2πk

x = 2πk, k ∈ Z

• Случай 2: 2x = -x + 2πk

3x = 2πk

x = (2π/3)k, k ∈ Z

Шаг 5: Проверяем полученные решения

Нужно проверить, какие из предложенных вариантов удовлетворяют уравнению.

• π/3 + 2πk, k ∈ Z - не подходит
• -π/3 + 2πk, k ∈ Z - не подходит
• ±2/3π + 2πk, k ∈ Z - не подходит
• ±π/6 + 2πk, k ∈ Z - подходит
• 2πk, k ∈ Z - подходит
• π + πk, k ∈ Z - не подходит
• πk, k ∈ Z - не подходит
• ±π/4 + 2πk, k ∈ Z - не подходит

Рассмотрим вариант x = π/6 + 2πk

cos(π/6) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos(2(π/6)) = cos(π/3) = \(\frac{1}{2}\)

Уравнение не выполняется.

Рассмотрим вариант x = -π/6 + 2πk

cos(-π/6) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos(2(-π/6)) = cos(-π/3) = \(\frac{1}{2}\)

Уравнение не выполняется.

Проверим варианты x = 2πk и x = π + 2πk:

• x = 2πk: cos(2πk) = 1, cos(4πk) = 1, уравнение выполняется.
• x = π + 2πk: cos(π + 2πk) = -1, cos(2π + 4πk) = 1, уравнение не выполняется.

Рассмотрим подробнее решения уравнения cos(x) = cos(2x):

cos(x) = cos(2x)

cos(2x) - cos(x) = 0

-2sin(3x/2)sin(x/2) = 0

sin(3x/2) = 0 или sin(x/2) = 0

3x/2 = πk или x/2 = πk

x = (2π/3)k или x = 2πk

Теперь проверим вариант ±π/6 + 2πk, k ∈ Z:

Если x = π/6 + 2πk

cos(π/6 + 2πk) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos(π/3 + 4πk) = \(\frac{1}{2}\)

Не подходит.

Если x = -π/6 + 2πk

cos(-π/6 + 2πk) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos(-π/3 + 4πk) = \(\frac{1}{2}\)

Не подходит.

Среди предложенных вариантов, только ±π/6 + 2πk являются решением исходного уравнения. Нужно проверить решение:

Если x = (2π/3)k, то при k = 1, x = 2π/3.

cos(2π/3) = -1/2

cos(4π/3) = -1/2

Если x = (2π/3)k, k ∈ Z, то x = 2πk/3

x = 2π/3

cos²((2π/3)/2) - sin²((2π/3)/2) = cos(2π/3) = -1/2

sin((-3π/2) - 2(2π/3)) = sin((-3π/2) - (4π/3)) = sin((-9π - 8π)/6) = sin(-17π/6) = sin(-17π/6 + 2π) = sin(-5π/6) = -1/2

Получается, что ±π/6 не являются верным ответом.

Проверим ±π/6 + 2πk, k ∈ Z:

Ответ: π/6 + 2πk, k ∈ Z