а) Решить уравнение sin 2x + √3 sin(x – π) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2]

а) Решить уравнение sin 2x + \(\sqrt{3}\) sin(x – \(\pi\)) = 0.

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x.
2. Учитываем, что sin(x - \(\pi\)) = -sin x.
3. Тогда уравнение принимает вид: 2 sin x cos x - \(\sqrt{3}\) sin x = 0.
4. Выносим sin x за скобки: sin x (2 cos x - \(\sqrt{3}\)) = 0.
5. Получаем два случая:

Случай 1: sin x = 0.

• Решение: x = \(\pi\)n, где n - целое число.

Случай 2: 2 cos x - \(\sqrt{3}\) = 0.

• cos x = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Решение: x = ±\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k, где k - целое число.

Общее решение уравнения: x = \(\pi\)n, x = ±\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k, где n, k - целые числа.

Ответ: x = \(\pi\)n, x = ±\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k, n, k \(\in\) Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].

Решение:

1. Рассмотрим корни вида x = \(\pi\)n.
2. Если n = 1, то x = \(\pi\), что принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].
3. Если n = 2, то x = 2\(\pi\), что принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].
4. Рассмотрим корни вида x = \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k.
5. Если k = 0, то x = \(\frac{\pi}{6}\), что не принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].
6. Если k = 1, то x = \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) = \(\frac{13\pi}{6}\), что не принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].
7. Рассмотрим корни вида x = -\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k.
8. Если k = 0, то x = -\(\frac{\pi}{6}\), что не принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].
9. Если k = 1, то x = -\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) = \(\frac{11\pi}{6}\), что принадлежит промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)].

Корни, принадлежащие промежутку [\(\frac{\pi}{2}\); 2\(\pi\)]: \(\pi\), 2\(\pi\), \(\frac{11\pi}{6}\).

Ответ: \(\pi\), 2\(\pi\), \(\frac{11\pi}{6}\)