а) Решить уравнение sin 2x - cos(π – x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [5]. 5π 2

a) Решить уравнение $$sin 2x - cos(\pi - x) = 0$$.

Преобразуем уравнение, используя формулу $$sin 2x = 2 sin x cos x$$ и формулу приведения $$cos(\pi - x) = -cos x$$:

$$2 sin x cos x - (-cos x) = 0$$

$$2 sin x cos x + cos x = 0$$

$$cos x (2 sin x + 1) = 0$$

Отсюда получаем два случая:

1. $$cos x = 0$$
   $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$
2. $$2 sin x + 1 = 0$$
   $$sin x = -\frac{1}{2}$$
   $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$ или $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left[ \frac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$$.

Найдем корни для каждого случая.

1. $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$
   $$\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 5\pi$$
   $$\frac{7}{2} \le \frac{1}{2} + n \le 5$$
   $$3.5 \le 0.5 + n \le 5$$
   $$3 \le n \le 4.5$$
   Так как $$n \in \mathbb{Z}$$, то $$n = 3$$ или $$n = 4$$
   $$x_1 = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}$$
   $$x_2 = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$$
2. $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$
   $$\frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 5\pi$$
   $$\frac{7}{2} \le -\frac{1}{6} + 2k \le 5$$
   $$3.5 \le -0.1667 + 2k \le 5$$
   $$3.6667 \le 2k \le 5.1667$$
   $$1.83335 \le k \le 2.58335$$
   Так как $$k \in \mathbb{Z}$$, то $$k = 2$$
   $$x_3 = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$
3. $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m$$
   $$\frac{7\pi}{2} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \le 5\pi$$
   $$\frac{7}{2} \le \frac{7}{6} + 2m \le 5$$
   $$3.5 \le 1.1667 + 2m \le 5$$
   $$2.3333 \le 2m \le 3.8333$$
   $$1.16665 \le m \le 1.91665$$
   Так как $$m \in \mathbb{Z}$$, то $$m = 1$$
   $$x_4 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: $$x = \frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}; \frac{23\pi}{6}; \frac{19\pi}{6}$$