а) Решите уравнение \(2\cos 2x-8\sin x+3=0\); б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};\,3\pi\right]\).

а) Используем формулу \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(2(1-2\sin^2 x)-8\sin x+3=0\).

После упрощения получаем \(4\sin^2 x+8\sin x-5=0\).

Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-2\). Второе значение невозможно, поскольку синус лежит в пределах от \(-1\) до \(1\).

Следовательно, \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) подходят значения при \(k=1\): \(\frac{13\pi}{6}\) и \(\frac{17\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}\).