Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: а) Решите уравнение \(2\log_2^2\left(\frac{\sin x}{2}\right)-7\log_2\left(\frac{\sin x}{2}\right)-15=0\).Фото задания

Ответ:

Область определения: \(\frac{\sin x}{2}>0\), то есть \(\sin x>0\).

  1. Обозначим \(t=\log_2\left(\frac{\sin x}{2}\right)\). Тогда получаем квадратное уравнение: \(2t^2-7t-15=0\).
  2. Находим корни: \(D=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-15)=169\), поэтому \(t=\frac{7\pm13}{4}\). Отсюда \(t=5\) или \(t=-\frac{3}{2}\).
  3. Если \(t=5\), то \(\frac{\sin x}{2}=2^5=32\), что невозможно, так как \(\sin x\le1\).
  4. Если \(t=-\frac{3}{2}\), то \(\frac{\sin x}{2}=2^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt2}\), следовательно, \(\sin x=\frac{1}{\sqrt2}\).

Тогда \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).